Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 14, 42, 29, 31, 45.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 65?

μ = 70σ = 10x = 65

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,2

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?

n = 11p = 0,3k = 4

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9495. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9495

z =

6.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 15% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 елементів має середнє 100,5 і стандартне відхилення s = 8,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 100,5s = 8,599%t(24) = 2,797

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 54 kg, стандартне відхилення 4 kg. Група ділянок 2: 10 ділянок, середнє 61 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 54s₁ = 4n₂ = 10x̄₂ = 61s₂ = 3,590%t(15) = 1,753

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 15 студентів, середній бал 95,5, стандартне відхилення 3,5. Група 2: 16 студентів, середній бал 102, стандартне відхилення 9. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 15x̄₁ = 95,5s₁ = 3,5n₂ = 16x̄₂ = 102s₂ = 9

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 18 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 21 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 18n₁ = 120x₂ = 21n₂ = 100

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (19, 65). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(19, 65)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,28

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 161/5 = 32,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−18,2)² + 9,8² + (−3,2)² + (−1,2)² + 12,8² = 602,8

Стандартне відхилення

s = √(602,8/4) = 12,28

Відповідь

s = 12,28

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,108

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,2 = 1,35

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,2 = 3,05

Дисперсія

Var(X) = 3,05 − 1,35² = 1,227

σ = √1,227 = 1,108

Відповідь

σ = 1,108

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,2201

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 4) = 330·0,3⁴·0,7⁷ = 330·0,0081·0,08235 = 0,2201

Відповідь

P = 0,2201

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −1,64

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9495 = 0,0505

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0505 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −1,64

Відповідь

z = −1,64

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 170,7 cm

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,15

z з таблиці

z ≈ −1,04

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm

Відповідь

x = 170,7 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,755

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Похибка оцінки

E = 2,797·8,5/√25 = 4,755

Відповідь

E = 4,755

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,203 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (6·4² + 9·3,5²)/15 = 13,75

s_p = 3,708

Похибка оцінки

E = 1,753·3,708·√(1/7 + 1/10) = 3,203

Відповідь

E = 3,203 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,616

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (14·3,5² + 15·9²)/29 = 47,81

s_p = 6,915

Стандартна похибка

SE = 6,915·√(1/15 + 1/16) = 2,485

Статистика критерію

t = (95,5 − 102)/2,485 = −2,616

Відповідь

t = −2,616

При df = 29 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,045; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,16

Вибіркові частки

p̂₁ = 18/120 = 0,15

p̂₂ = 21/100 = 0,21

p̂ = 39/220 = 0,1773

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,1773·0,8227·(1/120 + 1/100)) = 0,05171

Статистика критерію

z = (0,15 − 0,21)/0,05171 = −1,16

Відповідь

z = −1,16

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9131

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 192/5 = 38,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 173,2

Коефіцієнт кореляції

r = 38/√(10·173,2) = 0,9131

Відповідь

r = 0,9131

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,25

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 396/5 = 79,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

Лінія регресії

b = 146/40 = 3,65

a = 79,2 − 3,65·22 = −1,1

ŷ = −1,1 + 3,65·x

Прогнозоване значення

ŷ = −1,1 + 3,65·19 = 68,25

Залишок

e = 65 − 68,25 = −3,25

Відповідь

e = −3,25

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1