Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 46, 39, 45, 57, 30, 21, 37.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 66,25?

μ = 60σ = 5x = 66,25

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,1, 0,35, 0,15

σ =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 5X + 4. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,05, 0,05, 0,35Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 85,75 і 115 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 85,75x₂ = 115

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 12 елементів має середнє 120 і стандартне відхилення s = 6. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 12x̄ = 120s = 695%t(11) = 2,201

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 20E = 1,595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 80; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 30. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 74,78. Перевірте H₀: μ = 80 проти H₁: μ ≠ 80. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 80σ = 30n = 100x̄ = 74,78H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 117,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 117,8σ = 5n = 3695%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 21Σy = 140Σx² = 91Σy² = 3302Σxy = 468

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.

n = 6x = 7

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,67

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 275/7 = 39,29

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 6,714² + (−0,2857)² + 5,714² + 17,71² + (−9,286)² + (−18,29)² + (−2,286)² = 817,4

Стандартне відхилення

s = √(817,4/6) = 11,67

Відповідь

s = 11,67

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Відповідь

P = 0,8944

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,499

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,1 + 4·0,35 + 5·0,15 = 2,95

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,1 + 16·0,35 + 25·0,15 = 10,95

Дисперсія

Var(X) = 10,95 − 2,95² = 2,247

σ = √2,247 = 1,499

Відповідь

σ = 1,499

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 8,288

Розкид X

μ = 1,95, Var(X) = 2,748, σ_X = 1,658

Лінійна зміна

σ_Y = |5|·1,658 = 8,288

Відповідь

σ_Y = 8,288

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1,95 + 4 = 13,75.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6703

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

Площа між

P = Φ(1) − Φ(−0,95) = 0,8413 − 0,1711 = 0,6703

Відповідь

P = 0,6703

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 173,3 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm

Відповідь

x = 173,28 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,812

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Похибка оцінки

E = 2,201·6/√12 = 3,812

Відповідь

E = 3,812

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 683

Виразіть n

n = (1,96·20/1,5)² = 683

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 683

Відповідь

n = 683

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,08186

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 30/√100 = 3

z = (74,78 − 80)/3 = −1,74

Площа хвоста

Φ(1,74) = 0,9591

1 − Φ(1,74) = 0,0409

p-значення

p = 2·0,0409 = 0,08186

Відповідь

p = 0,08186

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 116,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·5/√36 = 1,633

Межа інтервалу

L = 117,8 − 1,633 = 116,2

Відповідь

L = 116,2

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,8847

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 468 − 21·140/6 = −22

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 3302 − 140²/6 = 35,33

Коефіцієнт кореляції

r = −22/√(17,5·35,33) = −0,8847

Відповідь

r = −0,8847

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 13,83

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 83/6 = 13,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93

Лінія регресії

b = 93/70 = 1,329

a = 13,83 − 1,329·7 = 4,533

ŷ = 4,533 + 1,329·x

Прогноз

ŷ = 4,533 + 1,329·7 = 13,83

Відповідь

ŷ = 13,83

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1