Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 28, 52, 30, 57, 59, 27, 42.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 158?

μ = 170σ = 8x = 158

P =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 8 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 8

P =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 10X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,05, 0,25, 0,35Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 10 з них перевищує 253,2 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 253,2 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 85% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 6 елементів має середнє 46,5 і стандартне відхилення s = 5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 6x̄ = 46,5s = 590%t(5) = 2,015

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 3. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 3E = 195%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 98,65 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,65s = 12n = 64

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 125,7. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 125,7σ = 20n = 3695%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 23.

n = 5x = 23

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,02

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 295/7 = 42,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−14,14)² + 9,857² + (−12,14)² + 14,86² + 16,86² + (−15,14)² + (−0,1429)² = 1179

Стандартне відхилення

s = √(1179/6) = 14,02

Відповідь

s = 14,02

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,7674

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Відповідь

P = 0,7674

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 12,81

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,6, Var(X) = 1,64, σ_X = 1,281

Лінійна зміна

σ_Y = |10|·1,281 = 12,81

Відповідь

σ_Y = 12,81

Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·1,6 + 20 = 36.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02169

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

Стандартизуйте

z = (253,2 − 250)/1,581 = 2,02

Імовірність

P = 1 − Φ(2,02) = 0,02169

Відповідь

P = 0,02169

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 542 h

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Відповідь

x = 542 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 42,39

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Похибка оцінки

E = 2,015·5/√6 = 4,113

Інтервал

46,5 ± 4,113 → [42,39, 50,61]

Відповідь

нижня межа = 42,39

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 35

Виразіть n

n = (1,96·3/1)² = 34,57

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 35

Відповідь

n = 35

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Статистика критерію

t = (98,65 − 100)/1,5 = −0,9

Відповідь

t = −0,9

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 132,2

Похибка оцінки

E = 1,96·20/√36 = 6,533

Межа інтервалу

U = 125,7 + 6,533 = 132,2

Відповідь

U = 132,2

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9898

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 109/6 = 18,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 189

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 520,8

Коефіцієнт кореляції

r = 189/√(70·520,8) = 0,9898

Відповідь

r = 0,9898

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 103

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 489/5 = 97,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

Лінія регресії

b = 208/40 = 5,2

a = 97,8 − 5,2·22 = −16,6

ŷ = −16,6 + 5,2·x

Прогноз

ŷ = −16,6 + 5,2·23 = 103

Відповідь

ŷ = 103

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1