Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 54, 31, 40, 15, 22.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 72.

μ = 60σ = 12x = 72

z =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 3 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 3

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 5 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 5p = 0,6

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,5161. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,5161

z =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 5% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 20 елементів має середнє 74 і стандартне відхилення s = 8. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 20x̄ = 74s = 890%t(19) = 1,729

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 21. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 21E = 0,599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

16 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 3,76, стандартне відхилення різниць 4,7. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 3,76s_d = 4,7

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 8E = 395%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 129Σy = 762Σx² = 2931Σy² = 102854Σxy = 17349

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5, 14). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(5, 14)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,31

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 162/5 = 32,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 21,6² + (−1,4)² + 7,6² + (−17,4)² + (−10,4)² = 937,2

Стандартне відхилення

s = √(937,2/4) = 15,31

Відповідь

s = 15,31

2.Описова статистика

Відповідь: z = 1

Стандартизуйте

z = (72 − 60)/12 = 1

Відповідь

z = 1

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,4213

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Відповідь

P = 0,4213

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,08704

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,4⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5·0,6·0,4⁴ = 0,0768

Додайте

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Відповідь

P = 0,08704

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,7

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,5161)/2 = 0,7580

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7580 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,70

Відповідь

z = 0,70

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 566 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,95

z з таблиці

z ≈ 1,64

Назад до початкових одиниць

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Відповідь

x = 566 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 3,093

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Похибка оцінки

E = 1,729·8/√20 = 3,093

Відповідь

E = 3,093

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 11706

Виразіть n

n = (2,576·21/0,5)² = 11706

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 11706

Відповідь

n = 11706

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 4,7/√16 = 1,175

Статистика критерію

t = 3,76/1,175 = 3,2

Відповідь

t = 3,2

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 28

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·8/3)² = 27,32

Округліть угору

n = 28

Відповідь

n = 28

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9872

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 17349 − 129·762/6 = 966

S_xx = 2931 − 129²/6 = 157,5

S_yy = 102854 − 762²/6 = 6080

Коефіцієнт кореляції

r = 966/√(157,5·6080) = 0,9872

Відповідь

r = 0,9872

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,95

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 110/5 = 22

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

Лінія регресії

b = 122/40 = 3,05

a = 22 − 3,05·6 = 3,7

ŷ = 3,7 + 3,05·x

Прогнозоване значення

ŷ = 3,7 + 3,05·5 = 18,95

Залишок

e = 14 − 18,95 = −4,95

Відповідь

e = −4,95

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1