Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 27, 29, 58, 44, 50, 30.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 152.

μ = 170σ = 15x = 152

z =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.

n = 10k = 5

N =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,4

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7580. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7580

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 25%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 20 елементів має середнє 29 і стандартне відхилення s = 9,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 20x̄ = 29s = 9,595%t(19) = 2,093

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 15 ділянок, середній урожай 34,5 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Група ділянок 2: 11 ділянок, середнє 33 kg, стандартне відхилення 4,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 34,5s₁ = 6,5n₂ = 11x̄₂ = 33s₂ = 4,599%t(24) = 2,797

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 65, стандартне відхилення 12. Група 2: 7 студентів, середній бал 73,3, стандартне відхилення 2,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 5x̄₁ = 65s₁ = 12n₂ = 7x̄₂ = 73,3s₂ = 2,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 50 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 55 з 250 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 55n₂ = 250

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 39?

n = 5ŷ = 39

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,88

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 238/6 = 39,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−12,67)² + (−10,67)² + 18,33² + 4,333² + 10,33² + (−9,667)² = 829,3

Стандартне відхилення

s = √(829,3/5) = 12,88

Відповідь

s = 12,88

2.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (152 − 170)/15 = −1,2

Відповідь

z = −1,2

3.Імовірність

Відповідь: N = 252

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

Відповідь

N = 252

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,03023

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,6¹¹ = 0,003628

P(X = 1) = 11·0,4·0,6¹⁰ = 0,02661

Додайте

P = 0,003628 + 0,02661 = 0,03023

Відповідь

P = 0,03023

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,17

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,7580)/2 = 0,8790

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8790 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,17

Відповідь

z = 1,17

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 89,88 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 балів

Відповідь

x = 89,88 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 24,55

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Похибка оцінки

E = 2,093·9,5/√20 = 4,446

Інтервал

29 ± 4,446 → [24,55, 33,45]

Відповідь

нижня межа = 24,55

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 7,886 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (14·6,5² + 10·4,5²)/24 = 33,08

s_p = 5,752

Похибка оцінки

E = 2,797·5,752·√(1/15 + 1/11) = 6,386

Інтервал

1,5 ± 6,386 → [−4,886, 7,886]

Відповідь

верхня межа = 7,886 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,81

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (4·12² + 6·2,5²)/10 = 61,35

s_p = 7,833

Стандартна похибка

SE = 7,833·√(1/5 + 1/7) = 4,586

Статистика критерію

t = (65 − 73,3)/4,586 = −1,81

Відповідь

t = −1,81

При df = 10 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,228; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 0,7477

Вибіркові частки

p̂₁ = 50/200 = 0,25

p̂₂ = 55/250 = 0,22

p̂ = 105/450 = 0,2333

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,2333·0,7667·(1/200 + 1/250)) = 0,04012

Статистика критерію

z = (0,25 − 0,22)/0,04012 = 0,7477

Відповідь

z = 0,7477

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9938

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 362/5 = 72,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 270

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1845

Коефіцієнт кореляції

r = 270/√(40·1845) = 0,9938

Відповідь

r = 0,9938

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,478

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 207/5 = 41,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

Лінія регресії

b = 46/10 = 4,6

a = 41,4 − 4,6·3 = 27,6

ŷ = 27,6 + 4,6·x

Розв’яжіть щодо x

x = (39 − 27,6)/4,6 = 2,478

Відповідь

x = 2,478

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1