Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 11, 10, 19, 11, 15, 28.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 72?

μ = 70σ = 5x = 72

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 8p = 0,5

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,8962. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8962

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 30 елементів має середнє 19 і стандартне відхилення s = 8. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 30x̄ = 19s = 890%t(29) = 1,699

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 15 ділянок, середній урожай 78,5 kg, стандартне відхилення 9 kg. Група ділянок 2: 16 ділянок, середнє 88 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 78,5s₁ = 9n₂ = 16x̄₂ = 88s₂ = 5,590%t(29) = 1,699

нижня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 12. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 102,44. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 100σ = 12n = 144x̄ = 102,44H₁: μ > μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 100 з 200 пацієнтів, які отримували лікування A, і 49 з 120 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 100n₁ = 200x₂ = 49n₂ = 120

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 21Σy = 133Σx² = 91Σy² = 3015Σxy = 434

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 58). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 58)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 6,919

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 94/6 = 15,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,667)² + (−5,667)² + 3,333² + (−4,667)² + (−0,6667)² + 12,33² = 239,3

Стандартне відхилення

s = √(239,3/5) = 6,919

Відповідь

s = 6,919

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 0,8

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,05 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,35 = 3

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,35 = 9,8

Дисперсія

Var(X) = 9,8 − 3² = 0,8

Відповідь

Var(X) = 0,8

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,03516

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5⁸ = 0,003906

P(X = 1) = 8·0,5·0,5⁷ = 0,03125

Додайте

P = 0,003906 + 0,03125 = 0,03516

Відповідь

P = 0,03516

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −1,26

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,8962 = 0,1038

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,1038 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −1,26

Відповідь

z = −1,26

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9099

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Відповідь

P = 0,9099

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 16,52

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Похибка оцінки

E = 1,699·8/√30 = 2,482

Інтервал

19 ± 2,482 → [16,52, 21,48]

Відповідь

нижня межа = 16,52

8.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −14,02 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (14·9² + 15·5,5²)/29 = 54,75

s_p = 7,399

Похибка оцінки

E = 1,699·7,399·√(1/15 + 1/16) = 4,518

Інтервал

−9,5 ± 4,518 → [−14,02, −4,982]

Відповідь

нижня межа = −14,02 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,007344

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (102,44 − 100)/1 = 2,44

Площа хвоста

Φ(2,44) = 0,9927

1 − Φ(2,44) = 0,0073

p-значення

p = 0,007344

Відповідь

p = 0,007344

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,591

Вибіркові частки

p̂₁ = 100/200 = 0,5

p̂₂ = 49/120 = 0,4083

p̂ = 149/320 = 0,4656

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,4656·0,5344·(1/200 + 1/120)) = 0,0576

Статистика критерію

z = (0,5 − 0,4083)/0,0576 = 1,591

Відповідь

z = 1,591

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9211

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 434 − 21·133/6 = −31,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 3015 − 133²/6 = 66,83

Коефіцієнт кореляції

r = −31,5/√(17,5·66,83) = −0,9211

Відповідь

r = −0,9211

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 5,2

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 268/5 = 53,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 16

Лінія регресії

b = 16/10 = 1,6

a = 53,6 − 1,6·3 = 48,8

ŷ = 48,8 + 1,6·x

Прогнозоване значення

ŷ = 48,8 + 1,6·2,5 = 52,8

Залишок

e = 58 − 52,8 = 5,2

Відповідь

e = 5,2

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1