Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 46, 18, 13, 37, 52.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 158.

μ = 170σ = 10x = 158

z =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 3 червоних і 6 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

3 / 6

P =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 5X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,1, 0,3, 0,35Y = 5X − 3

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 57 і 75 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 57x₂ = 75

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 13 елементів має середнє 46 і стандартне відхилення s = 1,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 13x̄ = 46s = 1,599%t(12) = 3,055

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 5 ділянок, середній урожай 80 kg, стандартне відхилення 7 kg. Група ділянок 2: 17 ділянок, середнє 68 kg, стандартне відхилення 3 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 80s₁ = 7n₂ = 17x̄₂ = 68s₂ = 395%t(20) = 2,086

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

13 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 8,89, стандартне відхилення різниць 8,9. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 8,89s_d = 8,9

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ > 500 виконують на рівні α = 0,05 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 8. Насправді середнє дорівнює 502,2. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 500μ = 502,2σ = 8n = 64α = 0,05

β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 86?

n = 6ŷ = 86

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17,11

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 166/5 = 33,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 12,8² + (−15,2)² + (−20,2)² + 3,8² + 18,8² = 1171

Стандартне відхилення

s = √(1171/4) = 17,11

Відповідь

s = 17,11

2.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (158 − 170)/10 = −1,2

Відповідь

z = −1,2

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,08333

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333

Відповідь

P = 0,08333

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 5,89

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,75, Var(X) = 1,388, σ_X = 1,178

Лінійна зміна

σ_Y = |5|·1,178 = 5,89

Відповідь

σ_Y = 5,89

Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1,75 − 3 = 5,75.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6295

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

Площа між

P = Φ(1) − Φ(−0,8) = 0,8413 − 0,2119 = 0,6295

Відповідь

P = 0,6295

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9515

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Відповідь

P = 0,9515

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 44,73

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Похибка оцінки

E = 3,055·1,5/√13 = 1,271

Інтервал

46 ± 1,271 → [44,73, 47,27]

Відповідь

нижня межа = 44,73

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 16,38 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (4·7² + 16·3²)/20 = 17

s_p = 4,123

Похибка оцінки

E = 2,086·4,123·√(1/5 + 1/17) = 4,376

Інтервал

12 ± 4,376 → [7,624, 16,38]

Відповідь

верхня межа = 16,38 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,602

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 8,9/√13 = 2,468

Статистика критерію

t = 8,89/2,468 = 3,602

Відповідь

t = 3,602

При df = 12 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,179; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 28,94 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 500 + 1,645·1 = 501,6

z при справжньому середньому

z = (501,6 − 502,2)/1 = −0,555

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −0,555) = 71,06%

β = 100% − 71,06% = 28,94%

Відповідь

β = 28,94%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9603

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 402/6 = 67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1740

Коефіцієнт детермінації

r² = 513²/(157,5·1740) = 0,9603

Відповідь

r² = 0,9603

Близько 96,03% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 11,02

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 393/6 = 65,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357

Лінія регресії

b = 357/70 = 5,1

a = 65,5 − 5,1·7 = 29,8

ŷ = 29,8 + 5,1·x

Розв’яжіть щодо x

x = (86 − 29,8)/5,1 = 11,02

Відповідь

x = 11,02

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1