Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 44, 28, 57, 19, 59, 34.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень більша за 73?

μ = 70σ = 5x = 73

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,2

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25Y = −2X − 3

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 25,1 і 33,5 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 25,1x₂ = 33,5

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 4,5. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 128 спостережень?

95%n₁ = 64E₁ = 4,5n₂ = 128

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 30 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 2,2 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 29 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 16,047 і 2,5 % — вище від 45,722.

n = 30s = 2,2 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 10 студентів, середній бал 40, стандартне відхилення 2,5. Група 2: 6 студентів, середній бал 31,4, стандартне відхилення 8. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 10x̄₁ = 40s₁ = 2,5n₂ = 6x̄₂ = 31,4s₂ = 8

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ < 200 виконують на рівні α = 0.01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 10. Насправді середнє дорівнює 196.2. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 196,2σ = 10n = 100α = 0,01

1 − β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 28?

n = 6ŷ = 28

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,04

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 241/6 = 40,17

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 3,833² + (−12,17)² + 16,83² + (−21,17)² + 18,83² + (−6,167)² = 1287

Стандартне відхилення

s = √(1287/5) = 16,04

Відповідь

s = 16,04

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Відповідь

P = 0,2743

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,047

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,2 = 2,45

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,2 = 7,05

Дисперсія

Var(X) = 7,05 − 2,45² = 1,047

Відповідь

Var(X) = 1,047

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,322

Розкид X

μ = 1,45, Var(X) = 1,348, σ_X = 1,161

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·1,161 = 2,322

Відповідь

σ_Y = 2,322

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·1,45 − 3 = −5,9.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4736

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Площа між

P = Φ(0,25) − Φ(−1,15) = 0,5987 − 0,1251 = 0,4736

Відповідь

P = 0,4736

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 187 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Відповідь

x = 186,97 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 3,182

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(64/128) = 0,7071

Нова похибка

E₂ = 4,5·0,7071 = 3,182

Відповідь

E₂ = 3,182

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 2,958 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 29·2,2² = 140,4

Межі для σ²

140,4/45,722 = 3,07

140,4/16,047 = 8,747

Межа для σ

σ = √8,747 = 2,958 µm

Відповідь

σ = 2,958 µm

95 % інтервал для σ: [1,752, 2,958] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,212

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (9·2,5² + 5·8²)/14 = 26,88

s_p = 5,184

Стандартна похибка

SE = 5,184·√(1/10 + 1/6) = 2,677

Статистика критерію

t = (40 − 31,4)/2,677 = 3,212

Відповідь

t = 3,212

При df = 14 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,145; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 92,98 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 200 − 2,326·1 = 197,7

z при справжньому середньому

z = (197,7 − 196,2)/1 = 1,474

Потужність

потужність = P(Z < 1.474) = 92.98%

1 − β = 92,98%

Відповідь

1 − β = 92,98%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9554

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 95/6 = 15,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 192,8

Коефіцієнт кореляції

r = −55,5/√(17,5·192,8) = −0,9554

Відповідь

r = −0,9554

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 3,504

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 194/6 = 32,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

Лінія регресії

b = 38/17,5 = 2,171

a = 32,33 − 2,171·5,5 = 20,39

ŷ = 20,39 + 2,171·x

Розв’яжіть щодо x

x = (28 − 20,39)/2,171 = 3,504

Відповідь

x = 3,504

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1