Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
30354045505560

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 51, 60, 54, 28, 35.

n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 108?

μ = 100σ = 8x = 108
P =
3.ІмовірністьСередня
xp(x)00,320,3540,2560,1μ = 2,3

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,310,3520,35μ

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 3X + 10
σY =
5.Нормальний розподілСередня
750 g745,1 gX + Y?

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 745,1 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 745,1 g
P =
6.Нормальний розподілСкладна
235240245250255260265gверх 20%

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 20% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 16, sd​ = 1,80L = ?Ud̄ = 8,4E90%

Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 8,4 і стандартне відхилення 1,8. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 16d̄ = 8,4sd = 1,890%t(15) = 1,753
нижня межа = mmHg
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 14. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 14E = 399%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,99801,998

Вибірка з 64 студентів має середній бал 121,3 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,3s = 5n = 64
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,64501,645

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 199,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 199,5σ = 4n = 3690%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy133346548764968xy54060

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy2841762183110381243xy5102040x = 3

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3, 9). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(3, 9)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,09

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 275/6 = 45,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 1,167² + 5,167² + 14,17² + 8,167² + (−17,83)² + (−10,83)² = 730,8

Стандартне відхилення

s = √(730,8/5) = 12,09

Відповідь

s = 12,09
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413
3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 3,71

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 2·0,35 + 4·0,25 + 6·0,1 = 2,3

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,35 + 16·0,25 + 36·0,1 = 9

Дисперсія

Var(X) = 9 − 2,3² = 3,71

Відповідь

Var(X) = 3,71
4.Імовірність

Відповідь: σY = 2,414

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047

Лінійна зміна

σY = |3|·0,8047 = 2,414

Відповідь

σY = 2,414

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·1,05 + 10 = 13,15.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6915

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (745,1 − 750)/9,849 = −0,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 254,2 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Відповідь

x = 254,2 g
7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 7,611 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 15, t = 1,753

Похибка оцінки

E = 1,753·1,8/√16 = 0,7888

Інтервал

8,4 ± 0,7888 → [7,611, 9,189]

Відповідь

нижня межа = 7,611 mmHg
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 145

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·14/3)² = 144,5

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 145

Відповідь

n = 145
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,08

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Статистика критерію

t = (121,3 − 120)/0,625 = 2,08

Відповідь

t = 2,08
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 200,6

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·4/√36 = 1,097

Межа інтервалу

U = 199,5 + 1,097 = 200,6

Відповідь

U = 200,6
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9761

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 259/5 = 51,8

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176
Syy = Σ(y − ȳ)² = 812,8

Коефіцієнт кореляції

r = 176/√(40·812,8) = 0,9761

Відповідь

r = 0,9761
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,162

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 158/6 = 26,33

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

Лінія регресії

b = 248/70 = 3,543
a = 26,33 − 3,543·7 = 1,533
ŷ = 1,533 + 3,543·x

Прогнозоване значення

ŷ = 1,533 + 3,543·3 = 12,16

Залишок

e = 9 − 12,16 = −3,162

Відповідь

e = −3,162

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1