Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 19, 48, 29, 34, 23, 42.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 76,25?
μ = 70σ = 5x = 76,25
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,3
σ =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,2. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 8p = 0,2
P =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 242,75 і 256,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 242,75x2 = 256,25
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 97,5%
x = h
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 8 елементів має середнє 71,5 і стандартне відхилення s = 11,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 8x̄ = 71,5s = 11,599%t(7) = 3,499
нижня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 10 ділянок, середній урожай 65 kg, стандартне відхилення 1 kg. Група ділянок 2: 16 ділянок, середнє 72,5 kg, стандартне відхилення 2 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 10x̄₁ = 65s₁ = 1n₂ = 16x̄₂ = 72,5s₂ = 299%t(24) = 2,797
нижня межа = kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 36 студентів має середній бал 117 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117s = 20n = 36
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 64 вимірювань має середнє 500,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 500,2σ = 15n = 6490%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 25). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(2,5, 25)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 11,11
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 195/6 = 32,5
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−13,5)² + 15,5² + (−3,5)² + 1,5² + (−9,5)² + 9,5² = 617,5
Стандартне відхилення
s = √(617,5/5) = 11,11
Відповідь
s = 11,11
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,8944
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблиця нормального розподілу
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Відповідь
P = 0,8944
3.Імовірність
Відповідь: σ = 2,2
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,2 + 2·0,2 + 4·0,3 + 6·0,3 = 3,4
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,2 + 16·0,3 + 36·0,3 = 16,4
Дисперсія
Var(X) = 16,4 − 3,4² = 4,84
σ = √4,84 = 2,2
Відповідь
σ = 2,2
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,5033
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,88 = 0,1678
P(X = 1) = 8·0,2·0,87 = 0,3355
Додайте
P = 0,1678 + 0,3355 = 0,5033
Відповідь
P = 0,5033
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8208
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (242,75 − 250)/5 = −1,45
z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25
Площа між
P = Φ(1,25) − Φ(−1,45) = 0,8944 − 0,07353 = 0,8208
Відповідь
P = 0,8208
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 578,4 h
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Назад до x
x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h
Відповідь
x = 578,4 h
7.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 57,27
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Похибка оцінки
E = 3,499·11,5/√8 = 14,23
Інтервал
71,5 ± 14,23 → [57,27, 85,73]
Відповідь
нижня межа = 57,27
8.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −9,412 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (9·1² + 15·2²)/24 = 2,875
sp = 1,696
Похибка оцінки
E = 2,797·1,696·√(1/10 + 1/16) = 1,912
Інтервал
−7,5 ± 1,912 → [−9,412, −5,588]
Відповідь
нижня межа = −9,412 kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −0,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Статистика критерію
t = (117 − 120)/3,333 = −0,9
Відповідь
t = −0,9
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 503,3
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·15/√64 = 3,084
Межа інтервалу
U = 500,2 + 3,084 = 503,3
Відповідь
U = 503,3
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9779
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 66/6 = 11
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Syy = Σ(y − ȳ)² = 208
Коефіцієнт кореляції
r = 118/√(70·208) = 0,9779
Відповідь
r = 0,9779
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,852
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 107/6 = 17,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5
Лінія регресії
b = −40,5/17,5 = −2,314
a = 17,83 − (−2,314)·3,5 = 25,93
ŷ = 25,93 − 2,314·x
Прогнозоване значення
ŷ = 25,93 + (−2,314)·2,5 = 20,15
Залишок
e = 25 − 20,15 = 4,852
Відповідь
e = 4,852
Точка лежить вище прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1