Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 26, 51, 60, 29, 22, 30.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 40. Знайдіть z-оцінку z для результату 420.

μ = 500σ = 40x = 420

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,2 і €50 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€4: p = 0,2€50: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 55,5 і 70,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 55,5x₂ = 70,5

P =

6.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 85% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g85%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 12 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 9,8 і стандартне відхилення 4,9. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 12d̄ = 9,8s_d = 4,999%t(11) = 3,106

нижня межа = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 30. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 30E = 0,595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 15. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 495,25. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 500σ = 15n = 36x̄ = 495,25H₁: μ < μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 70 з 100 пацієнтів, які отримували лікування A, і 170 з 200 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 170n₂ = 200

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,37

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 218/6 = 36,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−10,33)² + 14,67² + 23,67² + (−7,333)² + (−14,33)² + (−6,333)² = 1181

Стандартне відхилення

s = √(1181/5) = 15,37

Відповідь

s = 15,37

2.Описова статистика

Відповідь: z = −2

Стандартизуйте

z = (420 − 500)/40 = −2

Відповідь

z = −2

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,117

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,55

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,65

Дисперсія

Var(X) = 3,65 − 1,55² = 1,248

σ = √1,248 = 1,117

Відповідь

σ = 1,117

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,8 €

Чисті результати

G: 3 (p = 0,2), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)

Математичне сподівання

E(G) = 3·0,2 + 49·0,02 − 1·0,78 = 0,8 €

Відповідь

E(G) = 0,8 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5378

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95

z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55

Площа між

P = Φ(0,55) − Φ(−0,95) = 0,7088 − 0,1711 = 0,5378

Відповідь

P = 0,5378

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 255,2 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

Відповідь

x = 255,2 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 5,407 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 11, t = 3,106

Похибка оцінки

E = 3,106·4,9/√12 = 4,393

Інтервал

9,8 ± 4,393 → [5,407, 14,19]

Відповідь

нижня межа = 5,407 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 13830

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·30/0,5)² = 13830

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 13830

Відповідь

n = 13830

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,02872

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 15/√36 = 2,5

z = (495,25 − 500)/2,5 = −1,9

Площа хвоста

Φ(1,9) = 0,9713

1 − Φ(1,9) = 0,0287

p-значення

p = 0,02872

Відповідь

p = 0,02872

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −3,062

Вибіркові частки

p̂₁ = 70/100 = 0,7

p̂₂ = 170/200 = 0,85

p̂ = 240/300 = 0,8

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,8·0,2·(1/100 + 1/200)) = 0,04899

Статистика критерію

z = (0,7 − 0,85)/0,04899 = −3,062

Відповідь

z = −3,062

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9971

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 177/6 = 29,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 283

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1148

Коефіцієнт детермінації

r² = 283²/(70·1148) = 0,9971

Відповідь

r² = 0,9971

Близько 99,71% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 17,17

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 103/6 = 17,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5

Лінія регресії

b = −36,5/17,5 = −2,086

a = 17,17 − (−2,086)·3,5 = 24,47

ŷ = 24,47 − 2,086·x

Прогноз

ŷ = 24,47 + (−2,086)·3,5 = 17,17

Відповідь

ŷ = 17,17

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1