Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 41, 25, 18, 25, 50, 28.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 65?

μ = 50σ = 10x = 65

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 8 осіб? Порядок не має значення.

n = 8k = 3

N =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 7p = 0,1k = 1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 16 з них перевищує 644,8 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 16> 644,8 g

P =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 20% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів20%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 21 елементів має середнє 42,5 і стандартне відхилення s = 12. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 21x̄ = 42,5s = 1295%t(20) = 2,086

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 1,3 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.

n = 21s = 1,3 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 30. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 114,05. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ < 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 30n = 144x̄ = 114,05H₁: μ < μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 150 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 68 з 150 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 68n₂ = 150

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4,5, 52). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 52)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,92

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 187/6 = 31,17

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 9,833² + (−6,167)² + (−13,17)² + (−6,167)² + 18,83² + (−3,167)² = 710,8

Стандартне відхилення

s = √(710,8/5) = 11,92

Відповідь

s = 11,92

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

3.Імовірність

Відповідь: N = 56

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56

Відповідь

N = 56

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,372

Біноміальна формула

P(X = 1) = 7·0,1¹·0,9⁶ = 7·0,1·0,5314 = 0,372

Відповідь

P = 0,372

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1587

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 640 g, σ_T = 1,2·√16 = 4,8 g

Стандартизуйте

z = (644,8 − 640)/4,8 = 1

Імовірність

P = 1 − Φ(1) = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 73,4 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 балів

Відповідь

x = 73,4 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,462

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Похибка оцінки

E = 2,086·12/√21 = 5,462

Відповідь

E = 5,462

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 0,9946 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 20·1,3² = 33,8

Межі для σ²

33,8/34,17 = 0,9892

33,8/9,591 = 3,524

Межа для σ

σ = √0,9892 = 0,9946 µm

Відповідь

σ = 0,9946 µm

95 % інтервал для σ: [0,9946, 1,877] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,008656

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 30/√144 = 2,5

z = (114,05 − 120)/2,5 = −2,38

Площа хвоста

Φ(2,38) = 0,9913

1 − Φ(2,38) = 0,0087

p-значення

p = 0,008656

Відповідь

p = 0,008656

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,852

Вибіркові частки

p̂₁ = 150/250 = 0,6

p̂₂ = 68/150 = 0,4533

p̂ = 218/400 = 0,545

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,545·0,455·(1/250 + 1/150)) = 0,05143

Статистика критерію

z = (0,6 − 0,4533)/0,05143 = 2,852

Відповідь

z = 2,852

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9449

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 487/6 = 81,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 273

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1127

Коефіцієнт детермінації

r² = 273²/(70·1127) = 0,9449

Відповідь

r² = 0,9449

Близько 94,49% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4,4

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 228/5 = 45,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40

Лінія регресії

b = 40/10 = 4

a = 45,6 − 4·4 = 29,6

ŷ = 29,6 + 4·x

Прогнозоване значення

ŷ = 29,6 + 4·4,5 = 47,6

Залишок

e = 52 − 47,6 = 4,4

Відповідь

e = 4,4

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1