Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 13, 38, 18, 23, 22.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень більша за 530?

μ = 500σ = 50x = 530

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.

n = 10k = 3

N =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,1 і €50 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€4: p = 0,1€50: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9707. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9707

z =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 10% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 9 елементів має середнє 75,5 і стандартне відхилення s = 17,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 9x̄ = 75,5s = 17,595%t(8) = 2,306

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 11,2 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.

n = 16s = 11,2 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 79,8 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79,8s = 12n = 36

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 4 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 28. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 80%δ = 4σ = 28z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 110Σy = 366Σx² = 2510Σy² = 28294Σxy = 8418

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4,5, 25). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 25)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 9,365

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 114/5 = 22,8

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−9,8)² + 15,2² + (−4,8)² + 0,2² + (−0,8)² = 350,8

Стандартне відхилення

s = √(350,8/4) = 9,365

Відповідь

s = 9,365

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Відповідь

P = 0,2743

3.Імовірність

Відповідь: N = 120

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

Відповідь

N = 120

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,1 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 3 (p = 0,1), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)

Математичне сподівання

E(G) = 3·0,1 + 49·0,01 − 1·0,89 = −0,1 €

Відповідь

E(G) = −0,1 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 2,18

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9707)/2 = 0,9854

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9854 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 2,18

Відповідь

z = 2,18

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 449 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,1

z з таблиці

z ≈ −1,28

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Відповідь

x = 449 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 13,45

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·17,5/√9 = 13,45

Відповідь

E = 13,45

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 8,274 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 15·11,2² = 1882

Межі для σ²

1882/27,488 = 68,45

1882/6,262 = 300,5

Межа для σ

σ = √68,45 = 8,274 µm

Відповідь

σ = 8,274 µm

95 % інтервал для σ: [8,274, 17,33] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Статистика критерію

t = (79,8 − 75)/2 = 2,4

Відповідь

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 304

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 0,842)·28/4)² = 303,1

Округліть угору

n = 304

Відповідь

n = 304

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9952

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 8418 − 110·366/5 = 366

S_xx = 2510 − 110²/5 = 90

S_yy = 28294 − 366²/5 = 1503

Коефіцієнт кореляції

r = 366/√(90·1503) = 0,9952

Відповідь

r = 0,9952

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,829

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 144/6 = 24

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

Лінія регресії

b = −32/17,5 = −1,829

a = 24 − (−1,829)·3,5 = 30,4

ŷ = 30,4 − 1,829·x

Прогнозоване значення

ŷ = 30,4 + (−1,829)·4,5 = 22,17

Залишок

e = 25 − 22,17 = 2,829

Відповідь

e = 2,829

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1