Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 15, 40, 48, 38, 59.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 10?

μ = 50σ = 20x = 10

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,35, 0,1

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 5p = 0,4k = 3

P =

5.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 8 з них перевищує 202,1 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8> 202,1 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2,7. Якою буде гранична похибка E₂, якщо в тому самому дослідженні використати 128 спостережень?

90%n₁ = 64E₁ = 2,7n₂ = 128

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 25. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 25E = 590%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 13 студентів, середній бал 21, стандартне відхилення 6. Група 2: 13 студентів, середній бал 19,4, стандартне відхилення 4. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 13x̄₁ = 21s₁ = 6n₂ = 13x̄₂ = 19,4s₂ = 4

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 38 з 150 пацієнтів, які отримували лікування A, і 48 з 300 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 48n₂ = 300

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,23

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 200/5 = 40

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−25)² + 0² + 8² + (−2)² + 19² = 1054

Стандартне відхилення

s = √(1054/4) = 16,23

Відповідь

s = 16,23

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,03

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,1 = 1,2

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,1 = 2,5

Дисперсія

Var(X) = 2,5 − 1,2² = 1,06

σ = √1,06 = 1,03

Відповідь

σ = 1,03

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,2304

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 3) = 10·0,4³·0,6² = 10·0,064·0,36 = 0,2304

Відповідь

P = 0,2304

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06944

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 200 kg, σ_T = 0,5·√8 = 1,414 kg

Стандартизуйте

z = (202,1 − 200)/1,414 = 1,48

Імовірність

P = 1 − Φ(1,48) = 0,06944

Відповідь

P = 0,06944

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9875

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Імовірність

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Відповідь

P = 0,9875

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 1,909

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/128) = 0,7071

Нова похибка

E₂ = 2,7·0,7071 = 1,909

Відповідь

E₂ = 1,909

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 68

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·25/5)² = 67,65

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 68

Відповідь

n = 68

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,8

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (12·6² + 12·4²)/24 = 26

s_p = 5,099

Стандартна похибка

SE = 5,099·√(1/13 + 1/13) = 2

Статистика критерію

t = (21 − 19,4)/2 = 0,8

Відповідь

t = 0,8

При df = 24 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,064; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,374

Вибіркові частки

p̂₁ = 38/150 = 0,2533

p̂₂ = 48/300 = 0,16

p̂ = 86/450 = 0,1911

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,1911·0,8089·(1/150 + 1/300)) = 0,03932

Статистика критерію

z = (0,2533 − 0,16)/0,03932 = 2,374

Відповідь

z = 2,374

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,7022

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 214/5 = 42,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 21

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 62,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 21²/(10·62,8) = 0,7022

Відповідь

r² = 0,7022

Близько 70,22% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 24,5

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 147/6 = 24,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23,5

Лінія регресії

b = −23,5/17,5 = −1,343

a = 24,5 − (−1,343)·3,5 = 29,2

ŷ = 29,2 − 1,343·x

Прогноз

ŷ = 29,2 + (−1,343)·3,5 = 24,5

Відповідь

ŷ = 24,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1