Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
303540455055

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 27, 40, 27, 53, 56, 51.

n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 54,8?

μ = 50σ = 12x = 54,8
P =
3.ІмовірністьСередня
xp(x)100,35200,25300,2400,2μ = 22,5

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,2, 0,2
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
n = 6, p = 0,7: P(X = 5) = ?k0123456

Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 6p = 0,7k = 5
P =
5.Нормальний розподілСередня
488508P = ?

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 488 і 508 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x1 = 488x2 = 508
P =
6.Нормальний розподілСкладна
μ = 250x = ?97,5%

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 97,5%
x = g
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 6, s = 5,5LU = ?x̄ = 93E99%

Вибірка з 6 елементів має середнє 93 і стандартне відхилення s = 5,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 6x̄ = 93s = 5,599%t(5) = 4,032
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 21, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 21. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 21E = 595%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,98401,984

Вибірка з 100 студентів має середній бал 53,15 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 53,15s = 15n = 100
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ > 200 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 10. Насправді середнє дорівнює 202,5. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 202,5σ = 10n = 100α = 0,01
1 − β = %
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy233341445544649xy24635404550

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy284186248281035xy510102030x = 7

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (7, 21). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(7, 21)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 13,05

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 254/6 = 42,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−15,33)² + (−2,333)² + (−15,33)² + 10,67² + 13,67² + 8,667² = 851,3

Стандартне відхилення

s = √(851,3/5) = 13,05

Відповідь

s = 13,05
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6554

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554
3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 128,8

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,2 + 40·0,2 = 22,5

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,2 + 1600·0,2 = 635

Дисперсія

Var(X) = 635 − 22,5² = 128,8

Відповідь

Var(X) = 128,8
4.Імовірність

Відповідь: P = 0,3025

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 6·0,75·0,31 = 6·0,1681·0,3 = 0,3025

Відповідь

P = 0,3025
5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1972

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3
z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(−0,3) = 0,5793 − 0,3821 = 0,1972

Відповідь

P = 0,1972
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 259,8 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g

Відповідь

x = 259,8 g
7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 102,1

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Похибка оцінки

E = 4,032·5,5/√6 = 9,053

Інтервал

93 ± 9,053 → [83,95, 102,1]

Відповідь

верхня межа = 102,1
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 68

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·21/5)² = 67,77

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 68

Відповідь

n = 68
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Статистика критерію

t = (53,15 − 50)/1,5 = 2,1

Відповідь

t = 2,1
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 56,91 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 10/√100 = 1
x̄c = 200 + 2,326·1 = 202,3

z при справжньому середньому

z = (202,3 − 202,5)/1 = −0,174

Потужність

потужність = P(Z > −0,174) = 56,91%
1 − β = 56,91%

Відповідь

1 − β = 56,91%
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8554

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 212/5 = 42,4

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 143,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 35²/(10·143,2) = 0,8554

Відповідь

r² = 0,8554

Близько 85,54% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −4,8

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 113/5 = 22,6

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Лінія регресії

b = 128/40 = 3,2
a = 22,6 − 3,2·6 = 3,4
ŷ = 3,4 + 3,2·x

Прогнозоване значення

ŷ = 3,4 + 3,2·7 = 25,8

Залишок

e = 21 − 25,8 = −4,8

Відповідь

e = −4,8

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1