Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 24, 52, 17, 11, 32, 31.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 26?

μ = 50σ = 12x = 26

P =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 3 червоних і 8 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

3 / 8

P =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,3Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 85 і 107,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 107,5

P =

6.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 15% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів15%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 50 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 5,2. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за тими самими даними?

99%n₁ = 50E₁ = 5,290%

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,02?

p = 0,5E = 0,0290%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 100; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 8. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 98,16. Перевірте H₀: μ = 100 проти H₁: μ ≠ 100. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 100σ = 8n = 64x̄ = 98,16H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 113 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 31 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 31n₂ = 80

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (23, 85). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(23, 85)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,33

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 167/6 = 27,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−3,833)² + 24,17² + (−10,83)² + (−16,83)² + 4,167² + 3,167² = 1027

Стандартне відхилення

s = √(1027/5) = 14,33

Відповідь

s = 14,33

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,05455

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455

Відповідь

P = 0,05455

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 1,161

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,9, Var(X) = 5,39, σ_X = 2,322

Лінійна зміна

σ_Y = |0,5|·2,322 = 1,161

Відповідь

σ_Y = 1,161

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·2,9 + 20 = 21,45.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5328

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5

Площа між

P = Φ(0,5) − Φ(−1) = 0,6915 − 0,1587 = 0,5328

Відповідь

P = 0,5328

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 115,6 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,85

z з таблиці

z ≈ 1,04

Назад до початкових одиниць

x = 100 + 1,04·15 = 115,6 балів

Відповідь

x = 115,6 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 3,321

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(50/50) = 0,6386

Нова похибка

E₂ = 5,2·0,6386 = 3,321

Відповідь

E₂ = 3,321

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691

Округліть угору

n = 1692

Відповідь

n = 1692

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,06577

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 8/√64 = 1

z = (98,16 − 100)/1 = −1,84

Площа хвоста

Φ(1,84) = 0,9671

1 − Φ(1,84) = 0,0329

p-значення

p = 2·0,0329 = 0,06577

Відповідь

p = 0,06577

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,012

Вибіркові частки

p̂₁ = 113/250 = 0,452

p̂₂ = 31/80 = 0,3875

p̂ = 144/330 = 0,4364

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,4364·0,5636·(1/250 + 1/80)) = 0,0637

Статистика критерію

z = (0,452 − 0,3875)/0,0637 = 1,012

Відповідь

z = 1,012

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9406

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 101/5 = 20,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 40,8

Коефіцієнт кореляції

r = −19/√(10·40,8) = −0,9406

Відповідь

r = −0,9406

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,662

Середні

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 473/6 = 78,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 309

Лінія регресії

b = 309/70 = 4,414

a = 78,83 − 4,414·21 = −13,87

ŷ = −13,87 + 4,414·x

Прогнозоване значення

ŷ = −13,87 + 4,414·23 = 87,66

Залишок

e = 85 − 87,66 = −2,662

Відповідь

e = −2,662

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1