Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 55, 29, 19, 48, 24, 31, 51.
n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 90?
μ = 100σ = 20x = 90
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,15, 0,15
σ =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,25. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 8p = 0,25
P =
5.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,3707. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,3707
z =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 20 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 2,6 і стандартне відхилення 2,9. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 20d̄ = 2,6sd = 2,995%t(19) = 2,093
верхня межа = mmHg
8.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 97,5 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Група ділянок 2: 13 ділянок, середнє 96 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 9x̄₁ = 97,5s₁ = 7,5n₂ = 13x̄₂ = 96s₂ = 6,595%t(20) = 2,086
верхня межа = kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
11 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця 2,88, стандартне відхилення різниць 10,6. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = 2,88sd = 10,6
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 10E = 290%
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 14,34
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 257/7 = 36,71
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 18,29² + (−7,714)² + (−17,71)² + 11,29² + (−12,71)² + (−5,714)² + 14,29² = 1233
Стандартне відхилення
s = √(1233/6) = 14,34
Відповідь
s = 14,34
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,3085
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Відповідь
P = 0,3085
3.Імовірність
Відповідь: σ = 1,244
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,35 + 4·0,15 + 5·0,15 = 2,95
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,35 + 16·0,15 + 25·0,15 = 10,25
Дисперсія
Var(X) = 10,25 − 2,95² = 1,548
σ = √1,548 = 1,244
Відповідь
σ = 1,244
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,3671
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,758 = 0,1001
P(X = 1) = 8·0,25·0,757 = 0,267
Додайте
P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671
Відповідь
P = 0,3671
5.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 0,33
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,3707 = 0,6293
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,6293 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,33
Відповідь
z = 0,33
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 75,33 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Назад до x
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 балів
Відповідь
x = 75,33 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 3,957 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 19, t = 2,093
Похибка оцінки
E = 2,093·2,9/√20 = 1,357
Інтервал
2,6 ± 1,357 → [1,243, 3,957]
Відповідь
верхня межа = 3,957 mmHg
8.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 7,757 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (8·7,5² + 12·6,5²)/20 = 47,85
sp = 6,917
Похибка оцінки
E = 2,086·6,917·√(1/9 + 1/13) = 6,257
Інтервал
1,5 ± 6,257 → [−4,757, 7,757]
Відповідь
верхня межа = 7,757 kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,9011
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 10,6/√11 = 3,196
Статистика критерію
t = 2,88/3,196 = 0,9011
Відповідь
t = 0,9011
При df = 10 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,228; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 68
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,645·10/2)² = 67,65
Округліть угору
n = 68
Відповідь
n = 68
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,943
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 93/5 = 18,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 101,2
Коефіцієнт кореляції
r = −30/√(10·101,2) = −0,943
Відповідь
r = −0,943
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 11,91
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 139/6 = 23,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 197
Лінія регресії
b = 197/70 = 2,814
a = 23,17 − 2,814·7 = 3,467
ŷ = 3,467 + 2,814·x
Прогноз
ŷ = 3,467 + 2,814·3 = 11,91
Відповідь
ŷ = 11,91
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1