Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 27, 19, 32, 50, 35.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 173,2?

μ = 170σ = 8x = 173,2

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,3, 0,15, 0,25

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €12 з імовірністю 0,3 і €150 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€12: p = 0,3€150: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 16 з них перевищує 198,4 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 16> 198,4 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 20%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 7 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 3,9 і стандартне відхилення 6,9. Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 7d̄ = 3,9s_d = 6,990%t(6) = 1,943

E = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,02?

p = 0,5E = 0,0299%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 44 mm, відоме стандартне відхилення лінії 20 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 30,4 mm, відоме стандартне відхилення 19 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 30x̄₁ = 44 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 50x̄₂ = 30,4 mmσ₂ = 19 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 8E = 2,590%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,46

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 163/5 = 32,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−5,6)² + (−13,6)² + (−0,6)² + 17,4² + 2,4² = 525,2

Стандартне відхилення

s = √(525,2/4) = 11,46

Відповідь

s = 11,46

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446

3.Імовірність

Відповідь: σ = 11,52

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 10·0,3 + 20·0,3 + 30·0,15 + 40·0,25 = 23,5

Середнє квадратів

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,3 + 900·0,15 + 1600·0,25 = 685

Дисперсія

Var(X) = 685 − 23,5² = 132,8

σ = √132,8 = 11,52

Відповідь

σ = 11,52

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 2,1 €

Чисті результати

G: 9 (p = 0,3), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,69)

Математичне сподівання

E(G) = 9·0,3 + 147·0,01 − 3·0,69 = 2,1 €

Відповідь

E(G) = 2,1 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02275

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 192 kg, σ_T = 0,8·√16 = 3,2 kg

Стандартизуйте

z = (198,4 − 192)/3,2 = 2

Імовірність

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 87,38 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 балів

Відповідь

x = 87,38 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,067 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 6, t = 1,943

Похибка оцінки

E = 1,943·6,9/√7 = 5,067

Відповідь

E = 5,067 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

Округліть угору

n = 4148

Відповідь

n = 4148

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 3

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(20²/30 + 19²/50) = √20,55 = 4,534

Статистика критерію

z = (44 − 30,4)/4,534 = 3

Відповідь

z = 3

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 28

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·8/2,5)² = 27,71

Округліть угору

n = 28

Відповідь

n = 28

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,993

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 165/6 = 27,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 243

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 855,5

Коефіцієнт кореляції

r = 243/√(70·855,5) = 0,993

Відповідь

r = 0,993

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 22,42

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 104/6 = 17,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

Лінія регресії

b = 178/70 = 2,543

a = 17,33 − 2,543·7 = −0,4667

ŷ = −0,4667 + 2,543·x

Прогноз

ŷ = −0,4667 + 2,543·9 = 22,42

Відповідь

ŷ = 22,42

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1