Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 18, 14, 19, 18.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 58?

μ = 70σ = 15x = 58

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 13 осіб? Порядок не має значення.

n = 13k = 2

N =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,15 і €30 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€15: p = 0,15€30: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 440 і 572 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 440x₂ = 572

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 98 h, відоме стандартне відхилення 13 h. Модель 2: 80 телефонів, середнє 87 h, відоме стандартне відхилення 9 h. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 98 hσ₁ = 13 hn₂ = 80x̄₂ = 87 hσ₂ = 9 h99%

нижня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 39. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 39E = 0,595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 45 mm, відоме стандартне відхилення лінії 12 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 40,2 mm, відоме стандартне відхилення 19 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 30x̄₁ = 45 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 40x̄₂ = 40,2 mmσ₂ = 19 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 102,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 102,1σ = 5n = 4999%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 46?

n = 5ŷ = 46

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 13,44

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 116/5 = 23,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 23,8² + (−5,2)² + (−9,2)² + (−4,2)² + (−5,2)² = 722,8

Стандартне відхилення

s = √(722,8/4) = 13,44

Відповідь

s = 13,44

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

3.Імовірність

Відповідь: N = 78

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Відповідь

N = 78

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,15 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 12 (p = 0,15), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,83)

Математичне сподівання

E(G) = 12·0,15 + 27·0,02 − 3·0,83 = −0,15 €

Відповідь

E(G) = −0,15 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8973

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−1,5) = 0,9641 − 0,06681 = 0,8973

Відповідь

P = 0,8973

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9099

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Відповідь

P = 0,9099

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 6,446 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 98 − 87 = 11

Стандартна похибка

SE = √(13²/80 + 9²/80) = 1,768

Похибка оцінки

E = 2,576·1,768 = 4,554

Інтервал

11 ± 4,554 → [6,446, 15,55]

Відповідь

нижня межа = 6,446 h

Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 23373

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·39/0,5)² = 23372

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 23373

Відповідь

n = 23373

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,291

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(12²/30 + 19²/40) = √13,83 = 3,718

Статистика критерію

z = (45 − 40,2)/3,718 = 1,291

Відповідь

z = 1,291

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 100,3

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 2,576·5/√49 = 1,84

Межа інтервалу

L = 102,1 − 1,84 = 100,3

Відповідь

L = 100,3

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,975

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 552/6 = 92

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 678

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3070

Коефіцієнт кореляції

r = 678/√(157,5·3070) = 0,975

Відповідь

r = 0,975

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,5

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 242/5 = 48,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

Лінія регресії

b = 48/10 = 4,8

a = 48,4 − 4,8·5 = 24,4

ŷ = 24,4 + 4,8·x

Розв’яжіть щодо x

x = (46 − 24,4)/4,8 = 4,5

Відповідь

x = 4,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1