Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 44, 49, 32, 35, 20, 22.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Знайдіть z-оцінку z для результату 420.

μ = 500σ = 100x = 420

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,05, 0,3, 0,25, 0,25

σ =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,2Y = 3X + 20

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 199,8 mm. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 9 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −4 і стандартне відхилення 6,3. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 9d̄ = −4s_d = 6,395%t(8) = 2,306

верхня межа = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 25 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 4,7 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 24 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 12,401 і 2,5 % — вище від 39,364.

n = 25s = 4,7 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

7 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −4,42, стандартне відхилення різниць 11,7. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = −4,42s_d = 11,7

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 22. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 95%δ = 3σ = 22z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 24,5.

n = 6x = 24,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,57

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 202/6 = 33,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 10,33² + 15,33² + (−1,667)² + 1,333² + (−13,67)² + (−11,67)² = 669,3

Стандартне відхилення

s = √(669,3/5) = 11,57

Відповідь

s = 11,57

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (420 − 500)/100 = −0,8

Відповідь

z = −0,8

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,319

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,15 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,25 + 5·0,25 = 3,4

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,25 + 25·0,25 = 13,3

Дисперсія

Var(X) = 13,3 − 3,4² = 1,74

σ = √1,74 = 1,319

Відповідь

σ = 1,319

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 6,701

Розкид X

μ = 2,9, Var(X) = 4,99, σ_X = 2,234

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·2,234 = 6,701

Відповідь

σ_Y = 6,701

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·2,9 + 20 = 28,7.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6554

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

Відповідь

P = 0,6554

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 448,7 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Відповідь

x = 448,74 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 0,8426 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·6,3/√9 = 4,843

Інтервал

−4 ± 4,843 → [−8,843, 0,8426]

Відповідь

верхня межа = 0,8426 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 3,67 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 24·4,7² = 530,2

Межі для σ²

530,2/39,364 = 13,47

530,2/12,401 = 42,75

Межа для σ

σ = √13,47 = 3,67 µm

Відповідь

σ = 3,67 µm

95 % інтервал для σ: [3,67, 6,538] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9995

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартна похибка середньої різниці

SE = 11,7/√7 = 4,422

Статистика критерію

t = −4,42/4,422 = −0,9995

Відповідь

t = −0,9995

При df = 6 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,447; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 583

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,645)·22/3)² = 582,1

Округліть угору

n = 583

Відповідь

n = 583

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9434

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 270/5 = 54

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 267

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 890

Коефіцієнт кореляції

r = 267/√(90·890) = 0,9434

Відповідь

r = 0,9434

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 92,67

Середні

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 556/6 = 92,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 771

Лінія регресії

b = 771/157,5 = 4,895

a = 92,67 − 4,895·24,5 = −27,27

ŷ = −27,27 + 4,895·x

Прогноз

ŷ = −27,27 + 4,895·24,5 = 92,67

Відповідь

ŷ = 92,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1