Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
2025303540455055

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 17, 52, 25, 53, 59.

n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 100?

μ = 70σ = 20x = 100
P =
3.ІмовірністьСередня
P(принаймні одна шістка) = ??1?2?3?4?5?6P(шістка) = 1/6 за кожного кидка

Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 6
P =
4.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,3510,320,35μ

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 3X + 5
σY =
5.Нормальний розподілСередня
32 min29,5 minX + Y?

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 29,5 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 29,5 min
P =
6.Нормальний розподілСкладна
0,04 mm0D − d?

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 20, s = 5,5LUx̄ = 29E = ?90%

Вибірка з 20 елементів має середнє 29 і стандартне відхилення s = 5,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 20x̄ = 29s = 5,590%t(19) = 1,729
E =
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 39. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 39E = 395%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,01102,011

Вибірка з 49 студентів має середній бал 74 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 74s = 5n = 49
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 8. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 8E = 399%
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy2514636788951010012119xy51050100

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 506Σx² = 364Σy² = 45840Σxy = 4010
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy253363470572682781xy246607080x = 6,5

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 6,5.

n = 6x = 6,5
ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 18,85

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 206/5 = 41,2

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−24,2)² + 10,8² + (−16,2)² + 11,8² + 17,8² = 1421

Стандартне відхилення

s = √(1421/4) = 18,85

Відповідь

s = 18,85
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332
3.Імовірність

Відповідь: P = 0,6651

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Відповідь

P = 0,6651
4.Імовірність

Відповідь: σY = 2,51

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367

Лінійна зміна

σY = |3|·0,8367 = 2,51

Відповідь

σY = 2,51

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·1 + 5 = 8.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (29,5 − 32)/2,5 = −1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413
6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9706

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706

Відповідь

P = 0,9706
7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 2,126

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Похибка оцінки

E = 1,729·5,5/√20 = 2,126

Відповідь

E = 2,126
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 650

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·39/3)² = 649,2

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 650

Відповідь

n = 650
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Статистика критерію

t = (74 − 75)/0,7143 = −1,4

Відповідь

t = −1,4
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 48

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·8/3)² = 47,19

Округліть угору

n = 48

Відповідь

n = 48
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9939

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 4010 − 42·506/6 = 468
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 45840 − 506²/6 = 3167

Коефіцієнт кореляції

r = 468/√(70·3167) = 0,9939

Відповідь

r = 0,9939
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 81,54

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 421/6 = 70,17

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99,5

Лінія регресії

b = 99,5/17,5 = 5,686
a = 70,17 − 5,686·4,5 = 44,58
ŷ = 44,58 + 5,686·x

Прогноз

ŷ = 44,58 + 5,686·6,5 = 81,54

Відповідь

ŷ = 81,54

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1