Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 39, 16, 50, 44, 54, 39, 30.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 30?

μ = 50σ = 20x = 30

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,1, 0,35, 0,05

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,2 і €100 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€20: p = 0,2€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 169,95 і 192 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,95x₂ = 192

P =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 10% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів10%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 13 елементів має середнє 106 і стандартне відхилення s = 18,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 13x̄ = 106s = 18,599%t(12) = 3,055

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,3 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,03?

p ≈ 0,3E = 0,0399%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 54 mm, відоме стандартне відхилення лінії 8 mm. Лінія 2: вибірка з 80 деталей має середнє 50,6 mm, відоме стандартне відхилення 4 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 30x̄₁ = 54 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 80x̄₂ = 50,6 mmσ₂ = 4 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 36 вимірювань має середнє 500,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 500,2σ = 5n = 3690%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 102Σx² = 220Σy² = 2354Σxy = 716

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,79

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 272/7 = 38,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 0,1429² + (−22,86)² + 11,14² + 5,143² + 15,14² + 0,1429² + (−8,857)² = 980,9

Стандартне відхилення

s = √(980,9/6) = 12,79

Відповідь

s = 12,79

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,208

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,35 + 5·0,05 = 2,8

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,35 + 25·0,05 = 9,3

Дисперсія

Var(X) = 9,3 − 2,8² = 1,46

σ = √1,46 = 1,208

Відповідь

σ = 1,208

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −4 €

Чисті результати

G: 10 (p = 0,2), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)

Математичне сподівання

E(G) = 10·0,2 + 90·0,02 − 10·0,78 = −4 €

Відповідь

E(G) = −4 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8522

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−1,15) = 0,9772 − 0,1251 = 0,8522

Відповідь

P = 0,8522

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 77,8 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,9

z з таблиці

z ≈ 1,28

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 балів

Відповідь

x = 77,8 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 90,32

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Похибка оцінки

E = 3,055·18,5/√13 = 15,68

Інтервал

106 ± 15,68 → [90,32, 121,7]

Відповідь

нижня межа = 90,32

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1549

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,3·0,7/0,03² = 1548

Округліть угору

n = 1549

Відповідь

n = 1549

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,226

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(8²/30 + 4²/80) = √2,333 = 1,528

Статистика критерію

z = (54 − 50,6)/1,528 = 2,226

Відповідь

z = 2,226

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 498,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·5/√36 = 1,371

Межа інтервалу

L = 500,2 − 1,371 = 498,8

Відповідь

L = 498,8

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9949

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 716 − 30·102/5 = 104

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2354 − 102²/5 = 273,2

Коефіцієнт кореляції

r = 104/√(40·273,2) = 0,9949

Відповідь

r = 0,9949

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 22,4

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

Лінія регресії

b = −32/10 = −3,2

a = 20,8 − (−3,2)·3 = 30,4

ŷ = 30,4 − 3,2·x

Прогноз

ŷ = 30,4 + (−3,2)·2,5 = 22,4

Відповідь

ŷ = 22,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1