Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 40, 17, 49, 49, 37, 12, 42.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 88?

μ = 100σ = 8x = 88

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,3Y = 3X + 10

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 442 і 508 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 442x₂ = 508

P =

6.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 80% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm80%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 3,6. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за 256 спостереженнями?

99%n₁ = 64E₁ = 3,695%n₂ = 256

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 14,5 kg, стандартне відхилення 8,5 kg. Група ділянок 2: 8 ділянок, середнє 20 kg, стандартне відхилення 3 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 14,5s₁ = 8,5n₂ = 8x̄₂ = 20s₂ = 390%t(15) = 1,753

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 203,5 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 203,5s = 12n = 100

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 74,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 74,9σ = 8n = 4999%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 80?

n = 6ŷ = 80

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,85

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 246/7 = 35,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 4,857² + (−18,14)² + 13,86² + 13,86² + 1,857² + (−23,14)² + 6,857² = 1323

Стандартне відхилення

s = √(1323/6) = 14,85

Відповідь

s = 14,85

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 4,51

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,2 + 6·0,15 = 2,3

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,2 + 36·0,15 = 9,8

Дисперсія

Var(X) = 9,8 − 2,3² = 4,51

Відповідь

Var(X) = 4,51

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 3,128

Розкид X

μ = 1,75, Var(X) = 1,087, σ_X = 1,043

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·1,043 = 3,128

Відповідь

σ_Y = 3,128

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·1,75 + 10 = 15,25.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5057

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Площа між

P = Φ(0,2) − Φ(−1,45) = 0,5793 − 0,07353 = 0,5057

Відповідь

P = 0,5057

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 183,9 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Відповідь

x = 183,9 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 1,37

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/256) = 0,3804

Нова похибка

E₂ = 3,6·0,3804 = 1,37

Відповідь

E₂ = 1,37

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,568 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (8·8,5² + 7·3²)/15 = 42,73

s_p = 6,537

Похибка оцінки

E = 1,753·6,537·√(1/9 + 1/8) = 5,568

Відповідь

E = 5,568 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,917

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Статистика критерію

t = (203,5 − 200)/1,2 = 2,917

Відповідь

t = 2,917

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 77,84

Похибка оцінки

E = 2,576·8/√49 = 2,944

Межа інтервалу

U = 74,9 + 2,944 = 77,84

Відповідь

U = 77,84

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9631

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 255/5 = 51

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 312

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1166

Коефіцієнт кореляції

r = 312/√(90·1166) = 0,9631

Відповідь

r = 0,9631

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 10,04

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 405/6 = 67,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 429

Лінія регресії

b = 429/70 = 6,129

a = 67,5 − 6,129·8 = 18,47

ŷ = 18,47 + 6,129·x

Розв’яжіть щодо x

x = (80 − 18,47)/6,129 = 10,04

Відповідь

x = 10,04

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1