Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 16, 54, 45, 28, 14.
n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 5. Яка частка P значень менша за 164?
μ = 170σ = 5x = 164
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35
σ =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 3X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05Y = 3X + 10
σY =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 70,75 і 127,75 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 127,75
P =
6.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 95% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів95%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за 400 спостереженнями?
90%n₁ = 100E₁ = 295%n₂ = 400
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 14. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 14E = 0,599%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 40 деталей має середню довжину 66 mm, відоме стандартне відхилення лінії 8 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 62,4 mm, відоме стандартне відхилення 13 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
n₁ = 40x̄₁ = 66 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 40x̄₂ = 62,4 mmσ₂ = 13 mm
z =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 9. Насправді середнє дорівнює 496.85. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 500μ = 496,85σ = 9n = 36α = 0,10
1 − β = %
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 147Σy = 705Σx² = 3759Σy² = 86171Σxy = 17994
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 56?
n = 5ŷ = 56
x =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 17,66
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 157/5 = 31,4
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−15,4)² + 22,6² + 13,6² + (−3,4)² + (−17,4)² = 1247
Стандартне відхилення
s = √(1247/4) = 17,66
Відповідь
s = 17,66
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,1151
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Відповідь
P = 0,1151
3.Імовірність
Відповідь: σ = 12,44
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 10·0,3 + 20·0,3 + 30·0,05 + 40·0,35 = 24,5
Середнє квадратів
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,3 + 900·0,05 + 1600·0,35 = 755
Дисперсія
Var(X) = 755 − 24,5² = 154,8
σ = √154,8 = 12,44
Відповідь
σ = 12,44
4.Імовірність
Відповідь: σY = 5,524
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,1, Var(X) = 3,39, σX = 1,841
Лінійна зміна
σY = |3|·1,841 = 5,524
Відповідь
σY = 5,524
Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·2,1 + 10 = 16,3.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9423
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95
z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85
Площа між
P = Φ(1,85) − Φ(−1,95) = 0,9678 − 0,02559 = 0,9423
Відповідь
P = 0,9423
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 81,4 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,95
z з таблиці
z ≈ 1,64
Назад до початкових одиниць
x = 65 + 1,64·10 = 81,4 балів
Відповідь
x = 81,4 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 1,191
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/400) = 0,5957
Нова похибка
E₂ = 2·0,5957 = 1,191
Відповідь
E₂ = 1,191
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 5203
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·14/0,5)² = 5202
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 5203
Відповідь
n = 5203
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 1,492
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(8²/40 + 13²/40) = √5,825 = 2,414
Статистика критерію
z = (66 − 62,4)/2,414 = 1,492
Відповідь
z = 1,492
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 79,33 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 500 − 1,282·1,5 = 498,1
z при справжньому середньому
z = (498,1 − 496,85)/1,5 = 0,818
Потужність
потужність = P(Z < 0.818) = 79.33%
1 − β = 79,33%
Відповідь
1 − β = 79,33%
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9957
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 17994 − 147·705/6 = 721,5
Sxx = 3759 − 147²/6 = 157,5
Syy = 86171 − 705²/6 = 3334
Коефіцієнт кореляції
r = 721,5/√(157,5·3334) = 0,9957
Відповідь
r = 0,9957
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 3,473
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 267/5 = 53,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55
Лінія регресії
b = 55/10 = 5,5
a = 53,4 − 5,5·3 = 36,9
ŷ = 36,9 + 5,5·x
Розв’яжіть щодо x
x = (56 − 36,9)/5,5 = 3,473
Відповідь
x = 3,473
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1