Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 21, 60, 13, 26, 31, 14.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 158.
μ = 170σ = 10x = 158
z =
3.ІмовірністьСередня
У мішечку 3 червоних і 3 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
3 / 3
P =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 9 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 9p = 0,6
P =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 175,9 і 183,95 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 175,9x2 = 183,95
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 87,5 і стандартне відхилення s = 11,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 87,5s = 11,599%t(8) = 3,355
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 24. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 24E = 1,595%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 8 студентів, середній бал 80, стандартне відхилення 8. Група 2: 6 студентів, середній бал 74,7, стандартне відхилення 8,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 8x̄₁ = 80s₁ = 8n₂ = 6x̄₂ = 74,7s₂ = 8,5
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2,5 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 8. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
α = 0,01потужність = 95%δ = 2,5σ = 8zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 113?
n = 6ŷ = 113
x =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 17,35
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 165/6 = 27,5
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−6,5)² + 32,5² + (−14,5)² + (−1,5)² + 3,5² + (−13,5)² = 1506
Стандартне відхилення
s = √(1506/5) = 17,35
Відповідь
s = 17,35
2.Описова статистика
Відповідь: z = −1,2
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (158 − 170)/10 = −1,2
Відповідь
z = −1,2
3.Імовірність
Відповідь: P = 0,2
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2
Відповідь
P = 0,2
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,003801
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,49 = 0,0002621
P(X = 1) = 9·0,6·0,48 = 0,003539
Додайте
P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801
Відповідь
P = 0,003801
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,4202
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3
z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85
Площа між
P = Φ(0,85) − Φ(−0,3) = 0,8023 − 0,3821 = 0,4202
Відповідь
P = 0,4202
6.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8554
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554
Відповідь
P = 0,8554
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 100,4
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Похибка оцінки
E = 3,355·11,5/√9 = 12,86
Інтервал
87,5 ± 12,86 → [74,64, 100,4]
Відповідь
верхня межа = 100,4
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 984
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·24/1,5)² = 983,4
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 984
Відповідь
n = 984
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 1,195
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (7·8² + 5·8,5²)/12 = 67,44
sp = 8,212
Стандартна похибка
SE = 8,212·√(1/8 + 1/6) = 4,435
Статистика критерію
t = (80 − 74,7)/4,435 = 1,195
Відповідь
t = 1,195
При df = 12 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,179; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 162
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 1,645)·8/2,5)² = 161,5
Округліть угору
n = 162
Відповідь
n = 162
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9944
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 237/5 = 47,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23
Syy = Σ(y − ȳ)² = 53,2
Коефіцієнт детермінації
r² = 23²/(10·53,2) = 0,9944
Відповідь
r² = 0,9944
Близько 99,44% варіації y пояснюється прямою.
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 11,98
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 535/6 = 89,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 419
Лінія регресії
b = 419/70 = 5,986
a = 89,17 − 5,986·8 = 41,28
ŷ = 41,28 + 5,986·x
Розв’яжіть щодо x
x = (113 − 41,28)/5,986 = 11,98
Відповідь
x = 11,98
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1