Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 19, 32, 46, 34, 11, 48.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 100.

μ = 60σ = 20x = 100

z =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 8 червоних і 6 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

8 / 6

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 6p = 0,5k = 2

P =

5.Нормальний розподілСередня

Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 126,1 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 126,1 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 90% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 12 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 3,1 і стандартне відхилення 4,4. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 12d̄ = 3,1s_d = 4,495%t(11) = 2,201

E = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,6 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 90 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,04?

p ≈ 0,6E = 0,0490%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 117, стандартне відхилення 4,5. Група 2: 26 студентів, середній бал 113,1, стандартне відхилення 3,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 5x̄₁ = 117s₁ = 4,5n₂ = 26x̄₂ = 113,1s₂ = 3,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,05 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 24. Насправді середнє дорівнює 59. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 50μ = 59σ = 24n = 64α = 0,05

β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (6, 62). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(6, 62)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,6

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 190/6 = 31,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−12,67)² + 0,3333² + 14,33² + 2,333² + (−20,67)² + 16,33² = 1065

Стандартне відхилення

s = √(1065/5) = 14,6

Відповідь

s = 14,6

2.Описова статистика

Відповідь: z = 2

Стандартизуйте

z = (100 − 60)/20 = 2

Відповідь

z = 2

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,3077

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077

Відповідь

P = 0,3077

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,2344

Біноміальна формула

P(X = 2) = 15·0,5²·0,5⁴ = 15·0,25·0,0625 = 0,2344

Відповідь

P = 0,2344

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1635

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Стандартизуйте

z = (126,1 − 125)/1,118 = 0,98

Імовірність

P = 1 − Φ(0,98) = 0,1635

Відповідь

P = 0,1635

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 449 h

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,1

z з таблиці

z ≈ −1,28

Назад до початкових одиниць

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Відповідь

x = 449 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 2,796 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 11, t = 2,201

Похибка оцінки

E = 2,201·4,4/√12 = 2,796

Відповідь

E = 2,796 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 406

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,645²·0,6·0,4/0,04² = 405,9

Округліть угору

n = 406

Відповідь

n = 406

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,186

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (4·4,5² + 25·3,5²)/29 = 13,35

s_p = 3,654

Стандартна похибка

SE = 3,654·√(1/5 + 1/26) = 1,784

Статистика критерію

t = (117 − 113,1)/1,784 = 2,186

Відповідь

t = 2,186

При df = 29 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,045; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 8,771 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 50 + 1,645·3 = 54,94

z при справжньому середньому

z = (54,94 − 59)/3 = −1,355

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −1,355) = 91,23%

β = 100% − 91,23% = 8,771%

Відповідь

β = 8,771%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9841

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 89/6 = 14,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 135

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 268,8

Коефіцієнт кореляції

r = 135/√(70·268,8) = 0,9841

Відповідь

r = 0,9841

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 1,514

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 402/6 = 67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

Лінія регресії

b = 228/70 = 3,257

a = 67 − 3,257·8 = 40,94

ŷ = 40,94 + 3,257·x

Прогнозоване значення

ŷ = 40,94 + 3,257·6 = 60,49

Залишок

e = 62 − 60,49 = 1,514

Відповідь

e = 1,514

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1