Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 33, 19, 24, 32, 27.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень менша за 150?

μ = 170σ = 10x = 150

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 6p = 0,4k = 5

P =

5.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 200,5 mm. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,5 mm

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 15 елементів має середнє 78,5 і стандартне відхилення s = 6,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 78,5s = 6,595%t(14) = 2,145

верхня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 34. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 34E = 2,595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 44 mm, відоме стандартне відхилення лінії 11 mm. Лінія 2: вибірка з 100 деталей має середнє 48 mm, відоме стандартне відхилення 7 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 60x̄₁ = 44 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 100x̄₂ = 48 mmσ₂ = 7 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 25. Насправді середнє дорівнює 58. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 50μ = 58σ = 25n = 100α = 0,01

β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 44). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 44)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 5,788

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 135/5 = 27

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 6² + (−8)² + (−3)² + 5² + 0² = 134

Стандартне відхилення

s = √(134/4) = 5,788

Відповідь

s = 5,788

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 3,84

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,1 = 2,4

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,1 = 9,6

Дисперсія

Var(X) = 9,6 − 2,4² = 3,84

Відповідь

Var(X) = 3,84

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,03686

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 6·0,4⁵·0,6¹ = 6·0,01024·0,6 = 0,03686

Відповідь

P = 0,03686

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1587

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (200,5 − 200)/0,5 = 1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 82,1

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Похибка оцінки

E = 2,145·6,5/√15 = 3,6

Інтервал

78,5 ± 3,6 → [74,9, 82,1]

Відповідь

верхня межа = 82,1

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 711

Виразіть n

n = (1,96·34/2,5)² = 710,5

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 711

Відповідь

n = 711

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,526

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(11²/60 + 7²/100) = √2,507 = 1,583

Статистика критерію

z = (44 − 48)/1,583 = −2,526

Відповідь

z = −2,526

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 19,11 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 25/√100 = 2,5

x̄_c = 50 + 2,326·2,5 = 55,81

z при справжньому середньому

z = (55,81 − 58)/2,5 = −0,874

Помилка другого роду

потужність = P(Z > −0,874) = 80,89%

β = 100% − 80,89% = 19,11%

Відповідь

β = 19,11%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9856

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 133/5 = 26,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 633,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 158²/(40·633,2) = 0,9856

Відповідь

r² = 0,9856

Близько 98,56% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,45

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 248/5 = 49,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

Лінія регресії

b = 43/10 = 4,3

a = 49,6 − 4,3·3 = 36,7

ŷ = 36,7 + 4,3·x

Прогнозоване значення

ŷ = 36,7 + 4,3·2,5 = 47,45

Залишок

e = 44 − 47,45 = −3,45

Відповідь

e = −3,45

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1