Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 40, 17, 58, 11, 41, 54.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 30?

μ = 60σ = 20x = 30

P =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 6 червоних і 9 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

6 / 9

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 11p = 0,7k = 3

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 468 і 540 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 540

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 16 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −4,8 і стандартне відхилення 1,1. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 16d̄ = −4,8s_d = 1,199%t(15) = 2,947

верхня межа = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 34. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 34E = 590%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 501,2 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,2s = 5n = 100

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 399%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 18). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 18)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 19,14

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 221/6 = 36,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 3,167² + (−19,83)² + 21,17² + (−25,83)² + 4,167² + 17,17² = 1831

Стандартне відхилення

s = √(1831/5) = 19,14

Відповідь

s = 19,14

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,1429

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Відповідь

P = 0,1429

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,003713

Біноміальна формула

P(X = 3) = 165·0,7³·0,3⁸ = 165·0,343·6,561 × 10⁻⁵ = 0,003713

Відповідь

P = 0,003713

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6295

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Площа між

P = Φ(1) − Φ(−0,8) = 0,8413 − 0,2119 = 0,6295

Відповідь

P = 0,6295

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 241,8 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Відповідь

x = 241,78 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −3,99 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 15, t = 2,947

Похибка оцінки

E = 2,947·1,1/√16 = 0,8104

Інтервал

−4,8 ± 0,8104 → [−5,61, −3,99]

Відповідь

верхня межа = −3,99 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 126

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·34/5)² = 125,1

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 126

Відповідь

n = 126

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Статистика критерію

t = (501,2 − 500)/0,5 = 2,4

Відповідь

t = 2,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 12

Виразіть n

n = (2,576·4/3)² = 11,8

Округліть угору

n = 12

Відповідь

n = 12

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9542

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 112/6 = 18,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 81,33

Коефіцієнт кореляції

r = −36/√(17,5·81,33) = −0,9542

Відповідь

r = −0,9542

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,933

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

Лінія регресії

b = −28/17,5 = −1,6

a = 19,33 − (−1,6)·3,5 = 24,93

ŷ = 24,93 − 1,6·x

Прогнозоване значення

ŷ = 24,93 + (−1,6)·2,5 = 20,93

Залишок

e = 18 − 20,93 = −2,933

Відповідь

e = −2,933

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1