Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 11, 27, 53, 24, 44, 12, 47.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 182.

μ = 170σ = 8x = 182

z =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 4 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 4

P =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €30 з імовірністю 0,15 і €500 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€30: p = 0,15€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9297. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9297

z =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 90% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів90%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 13 елементів має середнє 32 і стандартне відхилення s = 18,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 13x̄ = 32s = 18,599%t(12) = 3,055

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 28. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 28E = 1,595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 7 студентів, середній бал 87,5, стандартне відхилення 6. Група 2: 10 студентів, середній бал 89,7, стандартне відхилення 6,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 7x̄₁ = 87,5s₁ = 6n₂ = 10x̄₂ = 89,7s₂ = 6,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 24 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 35 з 250 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 120x₂ = 35n₂ = 250

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 120Σy = 405Σx² = 2970Σy² = 33945Σxy = 10038

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 38). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 38)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 218/7 = 31,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−20,14)² + (−4,143)² + 21,86² + (−7,143)² + 12,86² + (−19,14)² + 15,86² = 1735

Стандартне відхилення

s = √(1735/6) = 17

Відповідь

s = 17

2.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Стандартизуйте

z = (182 − 170)/8 = 1,5

Відповідь

z = 1,5

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,5177

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Відповідь

P = 0,5177

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,5 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 20 (p = 0,15), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Математичне сподівання

E(G) = 20·0,15 + 490·0,01 − 10·0,84 = −0,5 €

Відповідь

E(G) = −0,5 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,81

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9297)/2 = 0,9649

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9649 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,81

Відповідь

z = 1,81

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 77,8 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,9

z з таблиці

z ≈ 1,28

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 балів

Відповідь

x = 77,8 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 16,32

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Похибка оцінки

E = 3,055·18,5/√13 = 15,68

Інтервал

32 ± 15,68 → [16,32, 47,68]

Відповідь

нижня межа = 16,32

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1339

Виразіть n

n = (1,96·28/1,5)² = 1339

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 1339

Відповідь

n = 1339

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,7081

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (6·6² + 9·6,5²)/15 = 39,75

s_p = 6,305

Стандартна похибка

SE = 6,305·√(1/7 + 1/10) = 3,107

Статистика критерію

t = (87,5 − 89,7)/3,107 = −0,7081

Відповідь

t = −0,7081

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,476

Вибіркові частки

p̂₁ = 24/120 = 0,2

p̂₂ = 35/250 = 0,14

p̂ = 59/370 = 0,1595

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,1595·0,8405·(1/120 + 1/250)) = 0,04066

Статистика критерію

z = (0,2 − 0,14)/0,04066 = 1,476

Відповідь

z = 1,476

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9928

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 10038 − 120·405/5 = 318

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 33945 − 405²/5 = 1140

Коефіцієнт кореляції

r = 318/√(90·1140) = 0,9928

Відповідь

r = 0,9928

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,3

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 242/5 = 48,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

Лінія регресії

b = 54/10 = 5,4

a = 48,4 − 5,4·3 = 32,2

ŷ = 32,2 + 5,4·x

Прогнозоване значення

ŷ = 32,2 + 5,4·1,5 = 40,3

Залишок

e = 38 − 40,3 = −2,3

Відповідь

e = −2,3

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1