Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 28, 36, 21, 37, 52, 21.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 84?

μ = 100σ = 8x = 84

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,05, 0,2, 0,15, 0,3

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €3. Ви виграєте €15 з імовірністю 0,1 і €60 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €3€15: p = 0,1€60: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0136. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0136

z =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів30%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 6. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за 200 спостереженнями?

99%n₁ = 100E₁ = 690%n₂ = 200

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,8 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,025?

p ≈ 0,8E = 0,02595%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 студентів має середній бал 123,6 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 123,6s = 5n = 16

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 48,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 48,9σ = 4n = 6499%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,81

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 195/6 = 32,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,5)² + 3,5² + (−11,5)² + 4,5² + 19,5² + (−11,5)² = 697,5

Стандартне відхилення

s = √(697,5/5) = 11,81

Відповідь

s = 11,81

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,609

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,3 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,15 + 5·0,3 = 3,1

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,15 + 25·0,3 = 12,2

Дисперсія

Var(X) = 12,2 − 3,1² = 2,59

σ = √2,59 = 1,609

Відповідь

σ = 1,609

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = −0,3 €

Чисті результати

G: 12 (p = 0,1), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,88)

Математичне сподівання

E(G) = 12·0,1 + 57·0,02 − 3·0,88 = −0,3 €

Відповідь

E(G) = −0,3 €

Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 2,21

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0136 = 0,9864

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9864 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 2,21

Відповідь

z = 2,21

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 59,8 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 балів

Відповідь

x = 59,8 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 2,709

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/200) = 0,4515

Нова похибка

E₂ = 6·0,4515 = 2,709

Відповідь

E₂ = 2,709

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 984

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,8·0,2/0,025² = 983,4

Округліть угору

n = 984

Відповідь

n = 984

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,88

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Статистика критерію

t = (123,6 − 120)/1,25 = 2,88

Відповідь

t = 2,88

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 50,19

Похибка оцінки

E = 2,576·4/√64 = 1,288

Межа інтервалу

U = 48,9 + 1,288 = 50,19

Відповідь

U = 50,19

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9709

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 83/5 = 16,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 41,2

Коефіцієнт детермінації

r² = −20²/(10·41,2) = 0,9709

Відповідь

r² = 0,9709

Близько 97,09% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 77,17

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 463/6 = 77,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89,5

Лінія регресії

b = 89,5/17,5 = 5,114

a = 77,17 − 5,114·5,5 = 49,04

ŷ = 49,04 + 5,114·x

Прогноз

ŷ = 49,04 + 5,114·5,5 = 77,17

Відповідь

ŷ = 77,17

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1