Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 50, 19, 18, 43, 60, 42, 44.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 30.

μ = 60σ = 20x = 30

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,2, 0,25

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 10 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 10p = 0,1k = 5

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1469. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,1469

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 6 елементів має середнє 69 і стандартне відхилення s = 8. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 6x̄ = 69s = 890%t(5) = 2,015

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 38. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 38E = 2,599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 3. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 119,23. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ < 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 3n = 36x̄ = 119,23H₁: μ < μ₀

p =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ < 100 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 16. Насправді середнє дорівнює 94.8. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 100μ = 94,8σ = 16n = 64α = 0,05

1 − β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 25Σy = 355Σx² = 165Σy² = 25803Σxy = 1929

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 6,5.

n = 5x = 6,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,55

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 276/7 = 39,43

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 10,57² + (−20,43)² + (−21,43)² + 3,571² + 20,57² + 2,571² + 4,571² = 1452

Стандартне відхилення

s = √(1452/6) = 15,55

Відповідь

s = 15,55

2.Описова статистика

Відповідь: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (30 − 60)/20 = −1,5

Відповідь

z = −1,5

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,158

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2,4

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,2 + 16·0,25 = 7,1

Дисперсія

Var(X) = 7,1 − 2,4² = 1,34

σ = √1,34 = 1,158

Відповідь

σ = 1,158

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,001488

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 252·0,1⁵·0,9⁵ = 252·1 × 10⁻⁵·0,5905 = 0,001488

Відповідь

P = 0,001488

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,05

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,1469 = 0,8531

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8531 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,05

Відповідь

z = 1,05

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 434,2 h

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Відповідь

x = 434,2 h

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 6,581

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Похибка оцінки

E = 2,015·8/√6 = 6,581

Відповідь

E = 6,581

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1534

Виразіть n

n = (2,576·38/2,5)² = 1533

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 1534

Відповідь

n = 1534

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,06178

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5

z = (119,23 − 120)/0,5 = −1,54

Площа хвоста

Φ(1,54) = 0,9382

1 − Φ(1,54) = 0,0618

p-значення

p = 0,06178

Відповідь

p = 0,06178

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 83,02 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 100 − 1,645·2 = 96,71

z при справжньому середньому

z = (96,71 − 94,8)/2 = 0,955

Потужність

потужність = P(Z < 0.955) = 83.02%

1 − β = 83,02%

Відповідь

1 − β = 83,02%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9957

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1929 − 25·355/5 = 154

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 25803 − 355²/5 = 598

Коефіцієнт кореляції

r = 154/√(40·598) = 0,9957

Відповідь

r = 0,9957

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 70,55

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 307/5 = 61,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

Лінія регресії

b = 61/10 = 6,1

a = 61,4 − 6,1·5 = 30,9

ŷ = 30,9 + 6,1·x

Прогноз

ŷ = 30,9 + 6,1·6,5 = 70,55

Відповідь

ŷ = 70,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1