Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 36, 11, 52, 23, 45, 39.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 112,5.

μ = 100σ = 10x = 112,5

z =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 4 червоних і 6 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

4 / 6

P =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €50 з імовірністю 0,2 і €500 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €10€50: p = 0,2€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9463. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9463

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 75%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 99,5 і стандартне відхилення s = 12,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 99,5s = 12,599%t(15) = 2,947

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 22 ділянок, середній урожай 33,5 kg, стандартне відхилення 1,5 kg. Група ділянок 2: 9 ділянок, середнє 24 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 22x̄₁ = 33,5s₁ = 1,5n₂ = 9x̄₂ = 24s₂ = 3,599%t(29) = 2,756

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 13 студентів, середній бал 76, стандартне відхилення 10. Група 2: 13 студентів, середній бал 86,1, стандартне відхилення 5,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 13x̄₁ = 76s₁ = 10n₂ = 13x̄₂ = 86,1s₂ = 5,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 105 з 150 пацієнтів, які отримували лікування A, і 213 з 250 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 105n₁ = 150x₂ = 213n₂ = 250

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 25Σy = 302Σx² = 165Σy² = 18650Σxy = 1634

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 84?

n = 6ŷ = 84

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,5

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 253/7 = 36,14

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 10,86² + (−0,1429)² + (−25,14)² + 15,86² + (−13,14)² + 8,857² + 2,857² = 1261

Стандартне відхилення

s = √(1261/6) = 14,5

Відповідь

s = 14,5

2.Описова статистика

Відповідь: z = 1,25

Стандартизуйте

z = (112,5 − 100)/10 = 1,25

Відповідь

z = 1,25

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,1333

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0,1333

Відповідь

P = 0,1333

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 5 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 40 (p = 0,2), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,79)

Математичне сподівання

E(G) = 40·0,2 + 490·0,01 − 10·0,79 = 5 €

Відповідь

E(G) = 5 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −1,61

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9463 = 0,0537

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0537 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −1,61

Відповідь

z = −1,61

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 71,75 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 балів

Відповідь

x = 71,75 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 90,29

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Похибка оцінки

E = 2,947·12,5/√16 = 9,209

Інтервал

99,5 ± 9,209 → [90,29, 108,7]

Відповідь

нижня межа = 90,29

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 11,94 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (21·1,5² + 8·3,5²)/29 = 5,009

s_p = 2,238

Похибка оцінки

E = 2,756·2,238·√(1/22 + 1/9) = 2,441

Інтервал

9,5 ± 2,441 → [7,059, 11,94]

Відповідь

верхня межа = 11,94 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,191

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (12·10² + 12·5,5²)/24 = 65,13

s_p = 8,07

Стандартна похибка

SE = 8,07·√(1/13 + 1/13) = 3,165

Статистика критерію

t = (76 − 86,1)/3,165 = −3,191

Відповідь

t = −3,191

При df = 24 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,064; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −3,646

Вибіркові частки

p̂₁ = 105/150 = 0,7

p̂₂ = 213/250 = 0,852

p̂ = 318/400 = 0,795

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,795·0,205·(1/150 + 1/250)) = 0,04169

Статистика критерію

z = (0,7 − 0,852)/0,04169 = −3,646

Відповідь

z = −3,646

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9692

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1634 − 25·302/5 = 124

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 18650 − 302²/5 = 409,2

Коефіцієнт кореляції

r = 124/√(40·409,2) = 0,9692

Відповідь

r = 0,9692

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,481

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 468/6 = 78

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107

Лінія регресії

b = 107/17,5 = 6,114

a = 78 − 6,114·4,5 = 50,49

ŷ = 50,49 + 6,114·x

Розв’яжіть щодо x

x = (84 − 50,49)/6,114 = 5,481

Відповідь

x = 5,481

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1