Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 50, 20, 14, 49, 16, 26.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 162,5?

μ = 170σ = 15x = 162,5

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.

n = 14k = 3

N =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 3X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,35Y = 3X + 10

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,8389. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8389

z =

6.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 25% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 78 h, відоме стандартне відхилення 7 h. Модель 2: 30 телефонів, середнє 85 h, відоме стандартне відхилення 20 h. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 78 hσ₁ = 7 hn₂ = 30x̄₂ = 85 hσ₂ = 20 h95%

нижня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 25 ділянок, середній урожай 78,5 kg, стандартне відхилення 7 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 68 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 25x̄₁ = 78,5s₁ = 7n₂ = 6x̄₂ = 68s₂ = 7,590%t(29) = 1,699

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 42,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 7 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 51 mm, відоме стандартне відхилення 20 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 80x̄₁ = 42,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 51 mmσ₂ = 20 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 12. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 90%δ = 5σ = 12z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 106Σx² = 364Σy² = 2202Σxy = 892

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,28

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 175/6 = 29,17

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 20,83² + (−9,167)² + (−15,17)² + 19,83² + (−13,17)² + (−3,167)² = 1325

Стандартне відхилення

s = √(1325/5) = 16,28

Відповідь

s = 16,28

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3085

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Відповідь

P = 0,3085

3.Імовірність

Відповідь: N = 364

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Відповідь

N = 364

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 3,732

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,55, Var(X) = 1,548, σ_X = 1,244

Лінійна зміна

σ_Y = |3|·1,244 = 3,732

Відповідь

σ_Y = 3,732

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·2,55 + 10 = 17,65.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,99

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,8389 = 0,1611

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,1611 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,99

Відповідь

z = −0,99

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 246,7 g

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Відповідь

x = 246,7 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −14,48 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 78 − 85 = −7

Стандартна похибка

SE = √(7²/40 + 20²/30) = 3,816

Похибка оцінки

E = 1,96·3,816 = 7,478

Інтервал

−7 ± 7,478 → [−14,48, 0,4785]

Відповідь

нижня межа = −14,48 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 15,98 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (24·7² + 5·7,5²)/29 = 50,25

s_p = 7,089

Похибка оцінки

E = 1,699·7,089·√(1/25 + 1/6) = 5,475

Інтервал

10,5 ± 5,475 → [5,025, 15,98]

Відповідь

верхня межа = 15,98 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −2,896

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(7²/80 + 20²/50) = √8,613 = 2,935

Статистика критерію

z = (42,5 − 51)/2,935 = −2,896

Відповідь

z = −2,896

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 50

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,282)·12/5)² = 49,35

Округліть угору

n = 50

Відповідь

n = 50

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9879

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 892 − 42·106/6 = 150

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2202 − 106²/6 = 329,3

Коефіцієнт кореляції

r = 150/√(70·329,3) = 0,9879

Відповідь

r = 0,9879

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 36,19

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 176/6 = 29,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

Лінія регресії

b = 240/70 = 3,429

a = 29,33 − 3,429·7 = 5,333

ŷ = 5,333 + 3,429·x

Прогноз

ŷ = 5,333 + 3,429·9 = 36,19

Відповідь

ŷ = 36,19

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1