Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 42, 14, 27, 42, 45.
n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 84.
μ = 60σ = 12x = 84
z =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05
σ =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 10X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,25, 0,1Y = 10X + 5
σY =
5.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 200,4 mm. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,4 mm
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).
μ = 32σ = 6P = 99%
x = min
7.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 10,6. Якою буде гранична похибка E₂ 90 % інтервалу за 400 спостереженнями?
99%n₁ = 100E₁ = 10,690%n₂ = 400
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 30. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 30E = 1,595%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
6 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −5,33, стандартне відхилення різниць 4,5. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = −5,33sd = 4,5
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 30 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 17 з 100 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 17n₂ = 100
z =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (9, 21). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(9, 21)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 13,21
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 170/5 = 34
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 8² + (−20)² + (−7)² + 8² + 11² = 698
Стандартне відхилення
s = √(698/4) = 13,21
Відповідь
s = 13,21
2.Описова статистика
Відповідь: z = 2
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (84 − 60)/12 = 2
Відповідь
z = 2
3.Імовірність
Відповідь: σ = 0,9097
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,35 + 4·0,05 = 2,15
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,35 + 16·0,05 = 5,45
Дисперсія
Var(X) = 5,45 − 2,15² = 0,8275
σ = √0,8275 = 0,9097
Відповідь
σ = 0,9097
4.Імовірність
Відповідь: σY = 9,95
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,1, Var(X) = 0,99, σX = 0,995
Лінійна зміна
σY = |10|·0,995 = 9,95
Відповідь
σY = 9,95
Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·2,1 + 5 = 26.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,2119
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Стандартизуйте
z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 45,96 min
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Назад до x
x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min
Відповідь
x = 45,96 min
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 3,385
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/400) = 0,3193
Нова похибка
E₂ = 10,6·0,3193 = 3,385
Відповідь
E₂ = 3,385
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 1537
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·30/1,5)² = 1537
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 1537
Відповідь
n = 1537
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,901
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 4,5/√6 = 1,837
Статистика критерію
t = −5,33/1,837 = −2,901
Відповідь
t = −2,901
При df = 5 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,571; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 1,442
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 30/120 = 0,25
p̂₂ = 17/100 = 0,17
p̂ = 47/220 = 0,2136
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,2136·0,7864·(1/120 + 1/100)) = 0,0555
Статистика критерію
z = (0,25 − 0,17)/0,0555 = 1,442
Відповідь
z = 1,442
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9863
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34
Syy = Σ(y − ȳ)² = 117,2
Коефіцієнт детермінації
r² = −34²/(10·117,2) = 0,9863
Відповідь
r² = 0,9863
Близько 98,63% варіації y пояснюється прямою.
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,981
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 80/6 = 13,33
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Лінія регресії
b = 94/70 = 1,343
a = 13,33 − 1,343·7 = 3,933
ŷ = 3,933 + 1,343·x
Прогнозоване значення
ŷ = 3,933 + 1,343·9 = 16,02
Залишок
e = 21 − 16,02 = 4,981
Відповідь
e = 4,981
Точка лежить вище прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1