Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
1520253035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 41, 23, 51, 14, 34.

n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 82?

μ = 100σ = 15x = 82
P =
3.ІмовірністьСередня
xp(x)00,310,120,2530,35μ = 1,65

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,1, 0,25, 0,35
σ =
4.ІмовірністьСкладна
n = 5, p = 0,7: P(X = 1) = ?k012345

Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,7, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 5p = 0,7k = 1
P =
5.Нормальний розподілСередня
240 g245,9 gT = X₁ + … + X₆?

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них перевищує 245,9 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6> 245,9 g
P =
6.Нормальний розподілСкладна
μ = 250x = ?5%

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 8, s = 1LUx̄ = 57,5E = ?99%

Вибірка з 8 елементів має середнє 57,5 і стандартне відхилення s = 1. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 8x̄ = 57,5s = 199%t(7) = 3,499
E =
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 38, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 38. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?

σ = 38E = 495%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,06402,064

Вибірка з 25 студентів має середній бал 93,4 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 93,4s = 15n = 25
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,10 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 16. Насправді середнє дорівнює 104. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 100μ = 104σ = 16n = 64α = 0,10
1 − β = %
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy126226323419514xy24152025

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 108Σx² = 55Σy² = 2438Σxy = 293
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy2114176258281039xy51010203040x = 5

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5.

n = 5x = 5
ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,57

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 163/5 = 32,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 8,4² + (−9,6)² + 18,4² + (−18,6)² + 1,4² = 849,2

Стандартне відхилення

s = √(849,2/4) = 14,57

Відповідь

s = 14,57
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1151

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151

Відповідь

P = 0,1151
3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,236

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,65

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,25

Дисперсія

Var(X) = 4,25 − 1,65² = 1,528
σ = √1,528 = 1,236

Відповідь

σ = 1,236
4.Імовірність

Відповідь: P = 0,02835

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 5·0,71·0,34 = 5·0,7·0,0081 = 0,02835

Відповідь

P = 0,02835
5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02222

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μT = 240 g, σT = 1,2·√6 = 2,939 g

Стандартизуйте

z = (245,9 − 240)/2,939 = 2,01

Імовірність

P = 1 − Φ(2,01) = 0,02222

Відповідь

P = 0,02222
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 241,8 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Відповідь

x = 241,78 g
7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 1,237

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Похибка оцінки

E = 3,499·1/√8 = 1,237

Відповідь

E = 1,237
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 347

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·38/4)² = 346,7

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 347

Відповідь

n = 347
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Статистика критерію

t = (93,4 − 100)/3 = −2,2

Відповідь

t = −2,2
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 76,36 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 16/√64 = 2
x̄c = 100 + 1,282·2 = 102,6

z при справжньому середньому

z = (102,6 − 104)/2 = −0,718

Потужність

потужність = P(Z > −0,718) = 76,36%
1 − β = 76,36%

Відповідь

1 − β = 76,36%
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9558

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 293 − 15·108/5 = −31
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2438 − 108²/5 = 105,2

Коефіцієнт кореляції

r = −31/√(10·105,2) = −0,9558

Відповідь

r = −0,9558
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 20,65

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 120/5 = 24

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Лінія регресії

b = 134/40 = 3,35
a = 24 − 3,35·6 = 3,9
ŷ = 3,9 + 3,35·x

Прогноз

ŷ = 3,9 + 3,35·5 = 20,65

Відповідь

ŷ = 20,65

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1