Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
15202530354045

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 47, 14, 48, 13, 18, 33.

n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 63,2?

μ = 60σ = 8x = 63,2
P =
3.ІмовірністьСередня
n = 12k = 3N = ?

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 12 осіб? Порядок не має значення.

n = 12k = 3
N =
4.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,220,240,3560,25μ

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,2, 0,35, 0,25Y = −2X + 10
σY =
5.Нормальний розподілСередня
5067,5P = ?

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 50 і 67,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 67,5
P =
6.Нормальний розподілСкладна
μ = 100x = ?25%

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 25%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 10, s = 11LU = ?x̄ = 111,5E95%

Вибірка з 10 елементів має середнє 111,5 і стандартне відхилення s = 11. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 111,5s = 1195%t(9) = 2,262
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 38, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 38. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 38E = 390%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,13102,131

Вибірка з 16 студентів має середній бал 102,1 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 102,1s = 4n = 16
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
μ₀x̄c

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ < 100 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 16. Насправді середнє дорівнює 95.2. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 100μ = 95,2σ = 16n = 64α = 0,05
1 − β = %
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy143917472054237226812998xy15202530406080100

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy14661795201042312926140xy152025100x = 15,5

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (15,5, 83). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(15,5, 83)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,14

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 173/6 = 28,83

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 18,17² + (−14,83)² + 19,17² + (−15,83)² + (−10,83)² + 4,167² = 1303

Стандартне відхилення

s = √(1303/5) = 16,14

Відповідь

s = 16,14
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446
3.Імовірність

Відповідь: N = 220

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

Відповідь

N = 220
4.Імовірність

Відповідь: σY = 4,247

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 3,3, Var(X) = 4,51, σX = 2,124

Лінійна зміна

σY = |−2|·2,124 = 4,247

Відповідь

σY = 4,247

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·3,3 + 10 = 3,4.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,5319

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5
z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25

Площа між

P = Φ(0,25) − Φ(−1,5) = 0,5987 − 0,06681 = 0,5319

Відповідь

P = 0,5319
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 89,88 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Назад до x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 балів

Відповідь

x = 89,88 балів
7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 119,4

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Похибка оцінки

E = 2,262·11/√10 = 7,868

Інтервал

111,5 ± 7,868 → [103,6, 119,4]

Відповідь

верхня межа = 119,4
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 435

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·38/3)² = 434,2

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 435

Відповідь

n = 435
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,1

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Статистика критерію

t = (102,1 − 100)/1 = 2,1

Відповідь

t = 2,1
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 77,49 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 16/√64 = 2
x̄c = 100 − 1,645·2 = 96,71

z при справжньому середньому

z = (96,71 − 95,2)/2 = 0,755

Потужність

потужність = P(Z < 0.755) = 77.49%
1 − β = 77,49%

Відповідь

1 − β = 77,49%
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9891

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 391/6 = 65,17

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 622,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2515

Коефіцієнт кореляції

r = 622,5/√(157,5·2515) = 0,9891

Відповідь

r = 0,9891
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 3,5

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 534/5 = 106,8

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 546

Лінія регресії

b = 546/90 = 6,067
a = 106,8 − 6,067·20 = −14,53
ŷ = −14,53 + 6,067·x

Прогнозоване значення

ŷ = −14,53 + 6,067·15,5 = 79,5

Залишок

e = 83 − 79,5 = 3,5

Відповідь

e = 3,5

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1