Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
1015202530354045

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 22, 23, 26, 26, 48, 32, 10.

n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 85.

μ = 70σ = 10x = 85
z =
3.ІмовірністьСередня
червоні: 3сині: 4

У мішечку 3 червоних і 4 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

3 / 4
P =
4.ІмовірністьСкладна
xp(x)10,220,2530,2540,3μ

X має показаний розподіл, а Y = 3X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,3Y = 3X − 3
σY =
5.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа між −z і z = 0,8529

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8529. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8529
z =
6.Нормальний розподілСкладна
μ = 65x = ?5%

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 5%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 6, sd​ = 50LU = ?d̄ = 0,5E95%

Артеріальний тиск 6 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 0,5 і стандартне відхилення 5. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 6d̄ = 0,5sd = 595%t(5) = 2,571
верхня межа = mmHg
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 15. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?

σ = 15E = 399%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,9901,99

Вибірка з 81 студентів має середній бал 98,5 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,5s = 15n = 81
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,9601,96

Вибірка з 16 вимірювань має середнє 81,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 81,9σ = 12n = 1695%
L =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy128228324421521xy2425

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 122Σx² = 55Σy² = 3026Σxy = 345
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy12722231941851469xy2461020x = 2,5

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 18). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(2,5, 18)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,53

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 187/7 = 26,71

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,714)² + (−3,714)² + (−0,7143)² + (−0,7143)² + 21,29² + 5,286² + (−16,71)² = 797,4

Стандартне відхилення

s = √(797,4/6) = 11,53

Відповідь

s = 11,53
2.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = (85 − 70)/10 = 1,5

Відповідь

z = 1,5
3.Імовірність

Відповідь: P = 0,1429

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429

Відповідь

P = 0,1429
4.Імовірність

Відповідь: σY = 3,324

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,65, Var(X) = 1,228, σX = 1,108

Лінійна зміна

σY = |3|·1,108 = 3,324

Відповідь

σY = 3,324

Середнє таки зсувається: E(Y) = 3·2,65 − 3 = 4,95.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,45

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8529)/2 = 0,9265

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9265 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,45

Відповідь

z = 1,45
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 48,55 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 балів

Відповідь

x = 48,55 балів
7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 5,748 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 5, t = 2,571

Похибка оцінки

E = 2,571·5/√6 = 5,248

Інтервал

0,5 ± 5,248 → [−4,748, 5,748]

Відповідь

верхня межа = 5,748 mmHg
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 166

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·15/3)² = 165,9

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 166

Відповідь

n = 166
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,9

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Статистика критерію

t = (98,5 − 100)/1,667 = −0,9

Відповідь

t = −0,9
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 76,02

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·12/√16 = 5,88

Межа інтервалу

L = 81,9 − 5,88 = 76,02

Відповідь

L = 76,02
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,9468

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 345 − 15·122/5 = −21
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 3026 − 122²/5 = 49,2

Коефіцієнт кореляції

r = −21/√(10·49,2) = −0,9468

Відповідь

r = −0,9468
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3,452

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 109/6 = 18,17

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −57,5

Лінія регресії

b = −57,5/17,5 = −3,286
a = 18,17 − (−3,286)·3,5 = 29,67
ŷ = 29,67 − 3,286·x

Прогнозоване значення

ŷ = 29,67 + (−3,286)·2,5 = 21,45

Залишок

e = 18 − 21,45 = −3,452

Відповідь

e = −3,452

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1