Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 34, 34, 30, 59, 32.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 165.

μ = 170σ = 10x = 165

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 8p = 0,5k = 1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 468 і 550 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 550

P =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 20% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів20%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 25 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 8,4. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за 100 спостереженнями?

90%n₁ = 25E₁ = 8,495%n₂ = 100

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,7 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 95 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,01?

p ≈ 0,7E = 0,0195%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 81 студентів має середній бал 501,6 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 501,6s = 5n = 81

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 100 вимірювань має середнє 501,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 501,1σ = 5n = 10099%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 42Σy = 119Σx² = 364Σy² = 2793Σxy = 1004

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 11,64

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 238/6 = 39,67

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 9,333² + (−5,667)² + (−5,667)² + (−9,667)² + 19,33² + (−7,667)² = 677,3

Стандартне відхилення

s = √(677,3/5) = 11,64

Відповідь

s = 11,64

2.Описова статистика

Відповідь: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (165 − 170)/10 = −0,5

Відповідь

z = −0,5

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,245

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,5

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,8

Дисперсія

Var(X) = 3,8 − 1,5² = 1,55

σ = √1,55 = 1,245

Відповідь

σ = 1,245

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,03125

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 8·0,5¹·0,5⁷ = 8·0,5·0,007813 = 0,03125

Відповідь

P = 0,03125

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6825

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8

z₂ = (550 − 500)/40 = 1,25

Площа між

P = Φ(1,25) − Φ(−0,8) = 0,8944 − 0,2119 = 0,6825

Відповідь

P = 0,6825

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 73,4 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 балів

Відповідь

x = 73,4 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 5,004

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/100) = 0,5957

Нова похибка

E₂ = 8,4·0,5957 = 5,004

Відповідь

E₂ = 5,004

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 8068

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 1,96²·0,7·0,3/0,01² = 8067

Округліть угору

n = 8068

Відповідь

n = 8068

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 2,88

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Статистика критерію

t = (501,6 − 500)/0,5556 = 2,88

Відповідь

t = 2,88

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 502,4

Похибка оцінки

E = 2,576·5/√100 = 1,288

Межа інтервалу

U = 501,1 + 1,288 = 502,4

Відповідь

U = 502,4

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9824

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1004 − 42·119/6 = 171

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2793 − 119²/6 = 432,8

Коефіцієнт кореляції

r = 171/√(70·432,8) = 0,9824

Відповідь

r = 0,9824

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 68,5

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 411/6 = 68,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115,5

Лінія регресії

b = 115,5/17,5 = 6,6

a = 68,5 − 6,6·4,5 = 38,8

ŷ = 38,8 + 6,6·x

Прогноз

ŷ = 38,8 + 6,6·4,5 = 68,5

Відповідь

ŷ = 68,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1