Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 56, 35, 25, 36, 37, 57, 13.
n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 37,5.
μ = 60σ = 15x = 37,5
z =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,2
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 10X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,2, 0,3, 0,1Y = 10X + 1
σY =
5.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7017. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,7017
z =
6.Нормальний розподілСкладна
Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 7,7. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за 324 спостереженнями?
90%n₁ = 36E₁ = 7,799%n₂ = 324
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 21 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 6,8 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 20 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 9,591 і 2,5 % — вище від 34,17.
n = 21s = 6,8 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
7 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −2,93, стандартне відхилення різниць 2,5. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 7d̄ = −2,93sd = 2,5
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 10E = 0,590%
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 15Σy = 88Σx² = 55Σy² = 1630Σxy = 236
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 20.
n = 5x = 20
ŷ =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 15,74
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 259/7 = 37
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 19² + (−2)² + (−12)² + (−1)² + 0² + 20² + (−24)² = 1486
Стандартне відхилення
s = √(1486/6) = 15,74
Відповідь
s = 15,74
2.Описова статистика
Відповідь: z = −1,5
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (37,5 − 60)/15 = −1,5
Відповідь
z = −1,5
3.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,227
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,2 = 1,35
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,2 = 3,05
Дисперсія
Var(X) = 3,05 − 1,35² = 1,227
Відповідь
Var(X) = 1,227
4.Імовірність
Відповідь: σY = 14
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,8, Var(X) = 1,96, σX = 1,4
Лінійна зміна
σY = |10|·1,4 = 14
Відповідь
σY = 14
Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·2,8 + 1 = 29.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,04
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,7017)/2 = 0,8508
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,8508 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,04
Відповідь
z = 1,04
6.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7881
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Стандартизуйте
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Відповідь
P = 0,7881
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 4,019
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/324) = 0,522
Нова похибка
E₂ = 7,7·0,522 = 4,019
Відповідь
E₂ = 4,019
8.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 9,82 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 20·6,8² = 924,8
Межі для σ²
924,8/34,17 = 27,06
924,8/9,591 = 96,42
Межа для σ
σ = √96,42 = 9,82 µm
Відповідь
σ = 9,82 µm
95 % інтервал для σ: [5,202, 9,82] µm.
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,101
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 2,5/√7 = 0,9449
Статистика критерію
t = −2,93/0,9449 = −3,101
Відповідь
t = −3,101
При df = 6 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,447; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 1083
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,645·10/0,5)² = 1082
Округліть угору
n = 1083
Відповідь
n = 1083
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9826
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 236 − 15·88/5 = −28
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1630 − 88²/5 = 81,2
Коефіцієнт кореляції
r = −28/√(10·81,2) = −0,9826
Відповідь
r = −0,9826
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 94,25
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 444/5 = 88,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218
Лінія регресії
b = 218/40 = 5,45
a = 88,8 − 5,45·19 = −14,75
ŷ = −14,75 + 5,45·x
Прогноз
ŷ = −14,75 + 5,45·20 = 94,25
Відповідь
ŷ = 94,25
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1