Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 27, 39, 19, 49, 32.
n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 79?
μ = 70σ = 15x = 79
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1
Var(X) =
4.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,15 і €10 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€4: p = 0,15€10: p = 0,05
E(G) = €
5.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 175,9 і 192,35 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 175,9x2 = 192,35
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 99 % значень (99-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 99%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 20 елементів має середнє 29 і стандартне відхилення s = 15,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 20x̄ = 29s = 15,599%t(19) = 2,861
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 13. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?
σ = 13E = 599%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 7 студентів, середній бал 25, стандартне відхилення 7,5. Група 2: 19 студентів, середній бал 17,6, стандартне відхилення 4,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 7x̄₁ = 25s₁ = 7,5n₂ = 19x̄₂ = 17,6s₂ = 4,5
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 81 вимірювань має середнє 500,3. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 500,3σ = 4n = 8195%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 18,5.
n = 6x = 18,5
ŷ =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 11,45
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 166/5 = 33,2
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−6,2)² + 5,8² + (−14,2)² + 15,8² + (−1,2)² = 524,8
Стандартне відхилення
s = √(524,8/4) = 11,45
Відповідь
s = 11,45
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,7257
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Відповідь
P = 0,7257
3.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 0,9275
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,1 = 2,15
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,1 = 5,55
Дисперсія
Var(X) = 5,55 − 2,15² = 0,9275
Відповідь
Var(X) = 0,9275
4.Імовірність
Відповідь: E(G) = 0,1 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 3 (p = 0,15), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)
Математичне сподівання
E(G) = 3·0,15 + 9·0,05 − 1·0,8 = 0,1 €
Відповідь
E(G) = 0,1 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,5977
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3
z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05
Площа між
P = Φ(2,05) − Φ(−0,3) = 0,9798 − 0,3821 = 0,5977
Відповідь
P = 0,5977
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 88,26 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Назад до x
x = 65 + 2,326·10 = 88,26 балів
Відповідь
x = 88,26 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 38,92
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 19, t = 2,861
Похибка оцінки
E = 2,861·15,5/√20 = 9,916
Інтервал
29 ± 9,916 → [19,08, 38,92]
Відповідь
верхня межа = 38,92
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 45
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·13/5)² = 44,86
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 45
Відповідь
n = 45
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 3,095
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (6·7,5² + 18·4,5²)/24 = 29,25
sp = 5,408
Стандартна похибка
SE = 5,408·√(1/7 + 1/19) = 2,391
Статистика критерію
t = (25 − 17,6)/2,391 = 3,095
Відповідь
t = 3,095
При df = 24 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,064; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 501,2
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·4/√81 = 0,8711
Межа інтервалу
U = 500,3 + 0,8711 = 501,2
Відповідь
U = 501,2
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9877
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 616/5 = 123,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 483
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2657
Коефіцієнт кореляції
r = 483/√(90·2657) = 0,9877
Відповідь
r = 0,9877
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 55,27
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 411/6 = 68,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 694,5
Лінія регресії
b = 694,5/157,5 = 4,41
a = 68,5 − 4,41·21,5 = −26,3
ŷ = −26,3 + 4,41·x
Прогноз
ŷ = −26,3 + 4,41·18,5 = 55,27
Відповідь
ŷ = 55,27
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1