Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 32, 21, 50, 33, 60, 27, 19.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 106?

μ = 100σ = 15x = 106

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,25, 0,05

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X + 10. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,2Y = −2X + 10

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 166,8 і 190,6 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 166,8x₂ = 190,6

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 елементів має середнє 66 і стандартне відхилення s = 2,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 66s = 2,590%t(24) = 1,711

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 37. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 37E = 290%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 50 деталей має середню довжину 94,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 5 mm. Лінія 2: вибірка з 60 деталей має середнє 91,6 mm, відоме стандартне відхилення 12 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 50x̄₁ = 94,5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 60x̄₂ = 91,6 mmσ₂ = 12 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 390%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 69?

n = 6ŷ = 69

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,15

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 242/7 = 34,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−2,571)² + (−13,57)² + 15,43² + (−1,571)² + 25,43² + (−7,571)² + (−15,57)² = 1378

Стандартне відхилення

s = √(1378/6) = 15,15

Відповідь

s = 15,15

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Відповідь

P = 0,3446

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,228

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,05 = 1,85

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,05 = 4,65

Дисперсія

Var(X) = 4,65 − 1,85² = 1,228

Відповідь

Var(X) = 1,228

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 4,468

Розкид X

μ = 2,9, Var(X) = 4,99, σ_X = 2,234

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·2,234 = 4,468

Відповідь

σ_Y = 4,468

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·2,9 + 10 = 4,2.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9093

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−1,6) = 0,9641 − 0,0548 = 0,9093

Відповідь

P = 0,9093

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 0,8555

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Похибка оцінки

E = 1,711·2,5/√25 = 0,8555

Відповідь

E = 0,8555

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 927

Виразіть n

n = (1,645·37/2)² = 926,1

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 927

Відповідь

n = 927

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 1,703

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(5²/50 + 12²/60) = √2,9 = 1,703

Статистика критерію

z = (94,5 − 91,6)/1,703 = 1,703

Відповідь

z = 1,703

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 5

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·4/3)² = 4,811

Округліть угору

n = 5

Відповідь

n = 5

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9157

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 281/5 = 56,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 274,8

Коефіцієнт кореляції

r = 48/√(10·274,8) = 0,9157

Відповідь

r = 0,9157

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 16,92

Середні

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 479/6 = 79,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 365

Лінія регресії

b = 365/70 = 5,214

a = 79,83 − 5,214·19 = −19,24

ŷ = −19,24 + 5,214·x

Розв’яжіть щодо x

x = (69 − (−19,24))/5,214 = 16,92

Відповідь

x = 16,92

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1