Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 49, 29, 17, 52, 12, 20, 44.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 160,4?

μ = 170σ = 8x = 160,4

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,35

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 6 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,5, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 6p = 0,5k = 3

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0125. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,0125

z =

6.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 70% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів70%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 16 елементів має середнє 115,5 і стандартне відхилення s = 3,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 16x̄ = 115,5s = 3,590%t(15) = 1,753

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 10 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 11,2 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 9 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 2,7 і 2,5 % — вище від 19,023.

n = 10s = 11,2 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 7 студентів, середній бал 70,5, стандартне відхилення 7,5. Група 2: 5 студентів, середній бал 75, стандартне відхилення 12. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 7x̄₁ = 70,5s₁ = 7,5n₂ = 5x̄₂ = 75s₂ = 12

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 75 з 300 пацієнтів, які отримували лікування A, і 23 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 23n₂ = 80

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.

n = 6x = 7

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 16,39

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 223/7 = 31,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 17,14² + (−2,857)² + (−14,86)² + 20,14² + (−19,86)² + (−11,86)² + 12,14² = 1611

Стандартне відхилення

s = √(1611/6) = 16,39

Відповідь

s = 16,39

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849

3.Імовірність

Відповідь: σ = 1,203

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,55

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,85

Дисперсія

Var(X) = 3,85 − 1,55² = 1,448

σ = √1,448 = 1,203

Відповідь

σ = 1,203

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,3125

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 3) = 20·0,5³·0,5³ = 20·0,125·0,125 = 0,3125

Відповідь

P = 0,3125

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 2,24

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,0125 = 0,9875

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9875 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 2,24

Відповідь

z = 2,24

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 59,8 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 балів

Відповідь

x = 59,8 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 114

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Похибка оцінки

E = 1,753·3,5/√16 = 1,534

Інтервал

115,5 ± 1,534 → [114, 117]

Відповідь

нижня межа = 114

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 7,704 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 9·11,2² = 1129

Межі для σ²

1129/19,023 = 59,35

1129/2,7 = 418,1

Межа для σ

σ = √59,35 = 7,704 µm

Відповідь

σ = 7,704 µm

95 % інтервал для σ: [7,704, 20,45] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,8041

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (6·7,5² + 4·12²)/10 = 91,35

s_p = 9,558

Стандартна похибка

SE = 9,558·√(1/7 + 1/5) = 5,596

Статистика критерію

t = (70,5 − 75)/5,596 = −0,8041

Відповідь

t = −0,8041

При df = 10 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,228; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −0,6812

Вибіркові частки

p̂₁ = 75/300 = 0,25

p̂₂ = 23/80 = 0,2875

p̂ = 98/380 = 0,2579

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,2579·0,7421·(1/300 + 1/80)) = 0,05505

Статистика критерію

z = (0,25 − 0,2875)/0,05505 = −0,6812

Відповідь

z = −0,6812

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9313

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 295/5 = 59

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 482

Коефіцієнт детермінації

r² = 67²/(10·482) = 0,9313

Відповідь

r² = 0,9313

Близько 93,13% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 77

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 462/6 = 77

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 348

Лінія регресії

b = 348/70 = 4,971

a = 77 − 4,971·7 = 42,2

ŷ = 42,2 + 4,971·x

Прогноз

ŷ = 42,2 + 4,971·7 = 77

Відповідь

ŷ = 77

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1