Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
101520253035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 26, 12, 10, 37, 53.

n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень менша за 600?

μ = 500σ = 100x = 600
P =
3.ІмовірністьСередня
P(принаймні одна шістка) = ??1?2?3?4?5?6?7?8P(шістка) = 1/6 за кожного кидка

Правильний кубик кидають 8 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 8
P =
4.ІмовірністьСкладна
n = 8, p = 0,25: P(X = 1) = ?k012345678

Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?

n = 8p = 0,25k = 1
P =
5.Нормальний розподілСередня
93,25112,75P = ?

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 93,25 і 112,75 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x1 = 93,25x2 = 112,75
P =
6.Нормальний розподілСкладна
0,04 mm0D − d?

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 20, sd​ = 2,90LU = ?d̄ = −4E95%

Артеріальний тиск 20 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −4 і стандартне відхилення 2,9. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 20d̄ = −4sd = 2,995%t(19) = 2,093
верхня межа = mmHg
8.Довірчі інтервалиСкладна
σ = 38, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 38. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 38E = 595%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,99801,998

Вибірка з 64 студентів має середній бал 94,19 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 94,19s = 15n = 64
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,64501,645

Вибірка з 25 вимірювань має середнє 511,2. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 511,2σ = 20n = 2590%
L =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy17901910721119231252513627154xy2025100120140160

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy2614716828981010312121xy5106080100120x = 11

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 11.

n = 6x = 11
ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 17,95

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 138/5 = 27,6

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−1,6)² + (−15,6)² + (−17,6)² + 9,4² + 25,4² = 1289

Стандартне відхилення

s = √(1289/4) = 17,95

Відповідь

s = 17,95
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413
3.Імовірність

Відповідь: P = 0,7674

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Відповідь

P = 0,7674
4.Імовірність

Відповідь: P = 0,267

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 1) = 8·0,251·0,757 = 8·0,25·0,1335 = 0,267

Відповідь

P = 0,267
5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,476

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45
z₂ = (112,75 − 100)/15 = 0,85

Площа між

P = Φ(0,85) − Φ(−0,45) = 0,8023 − 0,3264 = 0,476

Відповідь

P = 0,476
6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9868

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Імовірність

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Відповідь

P = 0,9868
7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −2,643 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 19, t = 2,093

Похибка оцінки

E = 2,093·2,9/√20 = 1,357

Інтервал

−4 ± 1,357 → [−5,357, −2,643]

Відповідь

верхня межа = −2,643 mmHg
8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 222

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·38/5)² = 221,9

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 222

Відповідь

n = 222
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −3,099

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Статистика критерію

t = (94,19 − 100)/1,875 = −3,099

Відповідь

t = −3,099
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 504,6

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·20/√25 = 6,58

Межа інтервалу

L = 511,2 − 6,58 = 504,6

Відповідь

L = 504,6
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9899

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 731/6 = 121,8

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 413
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2487

Коефіцієнт кореляції

r = 413/√(70·2487) = 0,9899

Відповідь

r = 0,9899
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 112,9

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 536/6 = 89,33

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 412

Лінія регресії

b = 412/70 = 5,886
a = 89,33 − 5,886·7 = 48,13
ŷ = 48,13 + 5,886·x

Прогноз

ŷ = 48,13 + 5,886·11 = 112,9

Відповідь

ŷ = 112,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1