Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 44, 54, 10, 26, 26, 34.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Яка частка P значень менша за 470?

μ = 500σ = 60x = 470

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?

n = 12p = 0,6k = 5

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 85,75 і 127 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 85,75x₂ = 127

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 5 % значень (5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 30 елементів має середнє 54,5 і стандартне відхилення s = 3. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 30x̄ = 54,5s = 395%t(29) = 2,045

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 11 kg, стандартне відхилення 2 kg. Група ділянок 2: 15 ділянок, середнє 22 kg, стандартне відхилення 6 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 11s₁ = 2n₂ = 15x̄₂ = 22s₂ = 699%t(19) = 2,861

E = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 49 студентів має середній бал 497,6 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,6s = 12n = 49

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ < 200 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12. Насправді середнє дорівнює 193.8. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 200μ = 193,8σ = 12n = 36α = 0,05

β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 6

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 83?

n = 6ŷ = 83

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,41

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 194/6 = 32,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 11,67² + 21,67² + (−22,33)² + (−6,333)² + (−6,333)² + 1,667² = 1187

Стандартне відхилення

s = √(1187/5) = 15,41

Відповідь

s = 15,41

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,3085

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Відповідь

P = 0,3085

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 4,24

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,15 + 2·0,2 + 4·0,35 + 6·0,3 = 3,6

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,2 + 16·0,35 + 36·0,3 = 17,2

Дисперсія

Var(X) = 17,2 − 3,6² = 4,24

Відповідь

Var(X) = 4,24

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,1009

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Біноміальна формула

P(X = 5) = 792·0,6⁵·0,4⁷ = 792·0,07776·0,001638 = 0,1009

Відповідь

P = 0,1009

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,793

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95

z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(−0,95) = 0,9641 − 0,1711 = 0,793

Відповідь

P = 0,793

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 241,8 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Назад до x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Відповідь

x = 241,78 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 1,12

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Похибка оцінки

E = 2,045·3/√30 = 1,12

Відповідь

E = 1,12

8.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 7,258 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (5·2² + 14·6²)/19 = 27,58

s_p = 5,252

Похибка оцінки

E = 2,861·5,252·√(1/6 + 1/15) = 7,258

Відповідь

E = 7,258 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,4

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Статистика критерію

t = (497,6 − 500)/1,714 = −1,4

Відповідь

t = −1,4

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 7,283 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 200 − 1,645·2 = 196,7

z при справжньому середньому

z = (196,7 − 193,8)/2 = 1,455

Помилка другого роду

потужність = P(Z < 1.455) = 92.72%

β = 100% − 92,72% = 7,283%

Відповідь

β = 7,283%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9576

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 400/6 = 66,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 897,3

Коефіцієнт кореляції

r = 120/√(17,5·897,3) = 0,9576

Відповідь

r = 0,9576

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 21,79

Середні

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 491/6 = 81,83

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 643,5

Лінія регресії

b = 643,5/157,5 = 4,086

a = 81,83 − 4,086·21,5 = −6,01

ŷ = −6,01 + 4,086·x

Розв’яжіть щодо x

x = (83 − (−6,01))/4,086 = 21,79

Відповідь

x = 21,79

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1