Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 35, 48, 42, 24, 18.

n = 5

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 45?

μ = 60σ = 15x = 45

P =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 8 червоних і 6 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

8 / 6

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 11 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,3. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 11p = 0,3

P =

5.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 8 з них менша за 323,4 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8< 323.4 g

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 6 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −4,3 і стандартне відхилення 5. Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 6d̄ = −4,3s_d = 590%t(5) = 2,015

E = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 20 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 0,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 19 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 8,907 і 2,5 % — вище від 32,852.

n = 20s = 0,9 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 198,9 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,9s = 5n = 100

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 25 вимірювань має середнє 202,4. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 10. Знайдіть верхню межу U 99 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 202,4σ = 10n = 2599%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 54?

n = 6ŷ = 54

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,4

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 167/5 = 33,4

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 1,6² + 14,6² + 8,6² + (−9,4)² + (−15,4)² = 615,2

Стандартне відхилення

s = √(615,2/4) = 12,4

Відповідь

s = 12,4

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,3077

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077

Відповідь

P = 0,3077

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,113

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,7¹¹ = 0,01977

P(X = 1) = 11·0,3·0,7¹⁰ = 0,09322

Додайте

P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113

Відповідь

P = 0,113

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 320 g, σ_T = 1,2·√8 = 3,394 g

Стандартизуйте

z = (323,4 − 320)/3,394 = 1

Імовірність

P = Φ(1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 189,5 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Відповідь

x = 189,51 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,113 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 5, t = 2,015

Похибка оцінки

E = 2,015·5/√6 = 4,113

Відповідь

E = 4,113 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 0,6844 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 19·0,9² = 15,39

Межі для σ²

15,39/32,852 = 0,4685

15,39/8,907 = 1,728

Межа для σ

σ = √0,4685 = 0,6844 µm

Відповідь

σ = 0,6844 µm

95 % інтервал для σ: [0,6844, 1,314] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Статистика критерію

t = (198,9 − 200)/0,5 = −2,2

Відповідь

t = −2,2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 207,6

Похибка оцінки

E = 2,576·10/√25 = 5,152

Межа інтервалу

U = 202,4 + 5,152 = 207,6

Відповідь

U = 207,6

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9879

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 600/5 = 120

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1066

Коефіцієнт кореляції

r = 204/√(40·1066) = 0,9879

Відповідь

r = 0,9879

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,441

Середні

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 384/6 = 64

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85

Лінія регресії

b = 85/17,5 = 4,857

a = 64 − 4,857·4,5 = 42,14

ŷ = 42,14 + 4,857·x

Розв’яжіть щодо x

x = (54 − 42,14)/4,857 = 2,441

Відповідь

x = 2,441

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1