Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 53, 21, 33, 40, 57, 29, 33.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 100.

μ = 70σ = 15x = 100

z =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 4 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 4

P =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,25 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €5€20: p = 0,25€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 28,3 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28,3 min

P =

6.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 90% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 15 елементів має середнє 31,5 і стандартне відхилення s = 9. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 31,5s = 999%t(14) = 2,977

верхня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 36. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 36E = 295%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 54,25 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54,25s = 15n = 36

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 88 з 250 пацієнтів, які отримували лікування A, і 17 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 17n₂ = 80

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 71?

n = 6ŷ = 71

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 12,97

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 266/7 = 38

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 15² + (−17)² + (−5)² + 2² + 19² + (−9)² + (−5)² = 1010

Стандартне відхилення

s = √(1010/6) = 12,97

Відповідь

s = 12,97

2.Описова статистика

Відповідь: z = 2

Стандартизуйте

z = (100 − 70)/15 = 2

Відповідь

z = 2

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,5177

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Відповідь

P = 0,5177

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 1 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 15 (p = 0,25), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,74)

Математичне сподівання

E(G) = 15·0,25 + 95·0,01 − 5·0,74 = 1 €

Відповідь

E(G) = 1 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9306

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306

Відповідь

P = 0,9306

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 256,4 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,9

z з таблиці

z ≈ 1,28

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Відповідь

x = 256,4 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 38,42

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Похибка оцінки

E = 2,977·9/√15 = 6,918

Інтервал

31,5 ± 6,918 → [24,58, 38,42]

Відповідь

верхня межа = 38,42

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 1245

Виразіть n

n = (1,96·36/2)² = 1245

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 1245

Відповідь

n = 1245

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 1,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Статистика критерію

t = (54,25 − 50)/2,5 = 1,7

Відповідь

t = 1,7

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,332

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 88/250 = 0,352

p̂₂ = 17/80 = 0,2125

p̂ = 105/330 = 0,3182

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,3182·0,6818·(1/250 + 1/80)) = 0,05983

Статистика критерію

z = (0,352 − 0,2125)/0,05983 = 2,332

Відповідь

z = 2,332

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9945

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 619/5 = 123,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1067

Коефіцієнт детермінації

r² = 206²/(40·1067) = 0,9945

Відповідь

r² = 0,9945

Близько 99,45% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 11,05

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 357/6 = 59,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 199

Лінія регресії

b = 199/70 = 2,843

a = 59,5 − 2,843·7 = 39,6

ŷ = 39,6 + 2,843·x

Розв’яжіть щодо x

x = (71 − 39,6)/2,843 = 11,05

Відповідь

x = 11,05

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1