Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 19, 55, 22, 22, 10, 17, 27.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 64?

μ = 70σ = 12x = 64

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 7 осіб? Порядок не має значення.

n = 7k = 4

N =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = −2X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = −2X − 3

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 114,6 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 114,6 s

P =

6.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 80% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 елементів має середнє 13,5 і стандартне відхилення s = 12,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 25x̄ = 13,5s = 12,595%t(24) = 2,064

нижня межа =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Діаметри 30 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 1 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 29 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 16,047 і 2,5 % — вище від 45,722.

n = 30s = 1 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 25 студентів має середній бал 118,2 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 5n = 25

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 35 з 100 пацієнтів, які отримували лікування A, і 55 з 250 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 35n₁ = 100x₂ = 55n₂ = 250

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 8.

n = 5x = 8

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,41

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 172/7 = 24,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−5,571)² + 30,43² + (−2,571)² + (−2,571)² + (−14,57)² + (−7,571)² + 2,429² = 1246

Стандартне відхилення

s = √(1246/6) = 14,41

Відповідь

s = 14,41

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915

3.Імовірність

Відповідь: N = 35

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

Відповідь

N = 35

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 1,609

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Лінійна зміна

σ_Y = |−2|·0,8047 = 1,609

Відповідь

σ_Y = 1,609

Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·0,95 − 3 = −4,9.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,06681

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 254,2 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Відповідь

x = 254,2 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 8,34

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Похибка оцінки

E = 2,064·12,5/√25 = 5,16

Інтервал

13,5 ± 5,16 → [8,34, 18,66]

Відповідь

нижня межа = 8,34

8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 0,7964 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 29·1² = 29

Межі для σ²

29/45,722 = 0,6343

29/16,047 = 1,807

Межа для σ

σ = √0,6343 = 0,7964 µm

Відповідь

σ = 0,7964 µm

95 % інтервал для σ: [0,7964, 1,344] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Статистика критерію

t = (118,2 − 120)/1 = −1,8

Відповідь

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 2,514

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 35/100 = 0,35

p̂₂ = 55/250 = 0,22

p̂ = 90/350 = 0,2571

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,2571·0,7429·(1/100 + 1/250)) = 0,05171

Статистика критерію

z = (0,35 − 0,22)/0,05171 = 2,514

Відповідь

z = 2,514

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9759

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 74/5 = 14,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 298,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 108²/(40·298,8) = 0,9759

Відповідь

r² = 0,9759

Близько 97,59% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 59,3

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 226/5 = 45,2

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

Лінія регресії

b = 188/40 = 4,7

a = 45,2 − 4,7·5 = 21,7

ŷ = 21,7 + 4,7·x

Прогноз

ŷ = 21,7 + 4,7·8 = 59,3

Відповідь

ŷ = 59,3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1