Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 25, 36, 35, 33, 30.
n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень більша за 178?
μ = 170σ = 8x = 178
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25
σ =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 5X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25Y = 5X + 5
σY =
5.Нормальний розподілСередня
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 60 і 77,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 77,5
P =
6.Нормальний розподілСкладна
результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 10% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 100 балівσ = 15 балів10%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 6 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −5,4 і стандартне відхилення 5. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 6d̄ = −5,4sd = 590%t(5) = 2,015
нижня межа = mmHg
8.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 17. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?
σ = 17E = 490%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 студентів має середній бал 196,5 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 196,5s = 8n = 25
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 60 з 150 пацієнтів, які отримували лікування A, і 64 з 200 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 150x₂ = 64n₂ = 200
z =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 41). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 41)
e =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 4,438
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 159/5 = 31,8
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = (−6,8)² + 4,2² + 3,2² + 1,2² + (−1,8)² = 78,8
Стандартне відхилення
s = √(78,8/4) = 4,438
Відповідь
s = 4,438
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,1587
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Відповідь
P = 0,1587
3.Імовірність
Відповідь: σ = 11,87
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,15 + 40·0,25 = 23
Середнє квадратів
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,15 + 1600·0,25 = 670
Дисперсія
Var(X) = 670 − 23² = 141
σ = √141 = 11,87
Відповідь
σ = 11,87
4.Імовірність
Відповідь: σY = 5,937
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 2,3, Var(X) = 1,41, σX = 1,187
Лінійна зміна
σY = |5|·1,187 = 5,937
Відповідь
σY = 5,937
Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·2,3 + 5 = 16,5.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,5858
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5
z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25
Площа між
P = Φ(1,25) − Φ(−0,5) = 0,8944 − 0,3085 = 0,5858
Відповідь
P = 0,5858
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 80,8 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,1
z з таблиці
z ≈ −1,28
Назад до початкових одиниць
x = 100 − 1,28·15 = 80,8 балів
Відповідь
x = 80,8 балів
7.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −9,513 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 5, t = 2,015
Похибка оцінки
E = 2,015·5/√6 = 4,113
Інтервал
−5,4 ± 4,113 → [−9,513, −1,287]
Відповідь
нижня межа = −9,513 mmHg
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 49
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·17/4)² = 48,88
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 49
Відповідь
n = 49
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,188
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Статистика критерію
t = (196,5 − 200)/1,6 = −2,188
Відповідь
t = −2,188
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 1,549
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 60/150 = 0,4
p̂₂ = 64/200 = 0,32
p̂ = 124/350 = 0,3543
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,3543·0,6457·(1/150 + 1/200)) = 0,05166
Статистика критерію
z = (0,4 − 0,32)/0,05166 = 1,549
Відповідь
z = 1,549
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9309
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 110/5 = 22
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Syy = Σ(y − ȳ)² = 78
Коефіцієнт кореляції
r = −26/√(10·78) = −0,9309
Відповідь
r = −0,9309
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 3,75
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 177/5 = 35,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37
Лінія регресії
b = 37/10 = 3,7
a = 35,4 − 3,7·3 = 24,3
ŷ = 24,3 + 3,7·x
Прогнозоване значення
ŷ = 24,3 + 3,7·3,5 = 37,25
Залишок
e = 41 − 37,25 = 3,75
Відповідь
e = 3,75
Точка лежить вище прямої.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1