Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 44, 27, 40, 27, 57, 11, 29.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Яка частка P значень менша за 425?

μ = 500σ = 50x = 425

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 10 осіб? Порядок не має значення.

n = 10k = 2

N =

4.ІмовірністьСкладна

X має показаний розподіл, а Y = 2X + 1. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ_Y величини Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3Y = 2X + 1

σ_Y =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 30,2 і 35 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,2x₂ = 35

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 68 і стандартне відхилення s = 6. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 68s = 699%t(9) = 3,25

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 13 kg, стандартне відхилення 7 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 22 kg, стандартне відхилення 1,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 13s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 22s₂ = 1,590%t(10) = 1,812

нижня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 36 студентів має середній бал 199,3 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,3s = 5n = 36

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

У випробуванні одужують 150 з 300 пацієнтів, які отримували лікування A, і 195 з 300 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 300x₂ = 195n₂ = 300

z =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 105Σy = 378Σx² = 2295Σy² = 30098Σxy = 8295

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (6, 63). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(6, 63)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,81

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 235/7 = 33,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 10,43² + (−6,571)² + 6,429² + (−6,571)² + 23,43² + (−22,57)² + (−4,571)² = 1316

Стандартне відхилення

s = √(1316/6) = 14,81

Відповідь

s = 14,81

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

3.Імовірність

Відповідь: N = 45

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Відповідь

N = 45

4.Імовірність

Відповідь: σ_Y = 2,406

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 2,55, Var(X) = 1,447, σ_X = 1,203

Лінійна зміна

σ_Y = |2|·1,203 = 2,406

Відповідь

σ_Y = 2,406

Середнє таки зсувається: E(Y) = 2·2,55 + 1 = 6,1.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,3094

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3

z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5

Площа між

P = Φ(0,5) − Φ(−0,3) = 0,6915 − 0,3821 = 0,3094

Відповідь

P = 0,3094

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9909

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02121 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02121 = −2,36

Імовірність

P = 1 − Φ(−2,36) = 0,9909

Відповідь

P = 0,9909

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 6,166

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Похибка оцінки

E = 3,25·6/√10 = 6,166

Відповідь

E = 6,166

8.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −14,84 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (6·7² + 4·1,5²)/10 = 30,3

s_p = 5,505

Похибка оцінки

E = 1,812·5,505·√(1/7 + 1/5) = 5,84

Інтервал

−9 ± 5,84 → [−14,84, −3,16]

Відповідь

нижня межа = −14,84 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,84

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Статистика критерію

t = (199,3 − 200)/0,8333 = −0,84

Відповідь

t = −0,84

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −3,716

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Вибіркові частки

p̂₁ = 150/300 = 0,5

p̂₂ = 195/300 = 0,65

p̂ = 345/600 = 0,575

Стандартна похибка за H₀

SE = √(0,575·0,425·(1/300 + 1/300)) = 0,04036

Статистика критерію

z = (0,5 − 0,65)/0,04036 = −3,716

Відповідь

z = −3,716

|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9648

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 8295 − 105·378/5 = 357

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 30098 − 378²/5 = 1521

Коефіцієнт кореляції

r = 357/√(90·1521) = 0,9648

Відповідь

r = 0,9648

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,5

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 363/6 = 60,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 291

Лінія регресії

b = 291/70 = 4,157

a = 60,5 − 4,157·6 = 35,56

ŷ = 35,56 + 4,157·x

Прогнозоване значення

ŷ = 35,56 + 4,157·6 = 60,5

Залишок

e = 63 − 60,5 = 2,5

Відповідь

e = 2,5

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1