Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 39, 33, 59, 23, 40, 27.
n = 6
s =
2.Описова статистикаСкладна
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Знайдіть z-оцінку z для результату 560.
μ = 500σ = 100x = 560
z =
3.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 7
P =
4.ІмовірністьСкладна
Тестують 12 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,4. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?
n = 12p = 0,4
P =
5.Нормальний розподілСередня
Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них перевищує 298,3 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12> 298,3 kg
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
7.Довірчі інтервалиСередня
95 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 100 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 2,4. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за 900 спостереженнями?
95%n₁ = 100E₁ = 2,499%n₂ = 900
E₂ =
8.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 8 ділянок, середній урожай 76 kg, стандартне відхилення 9 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 88 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 8x̄₁ = 76s₁ = 9n₂ = 6x̄₂ = 88s₂ = 3,595%t(12) = 2,179
нижня межа = kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 84,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 17 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 81,9 mm, відоме стандартне відхилення 4 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
n₁ = 80x̄₁ = 84,5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 40x̄₂ = 81,9 mmσ₂ = 4 mm
z =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 4E = 299%
n =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 30Σy = 364Σx² = 220Σy² = 27642Σxy = 2396
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 21?
n = 6ŷ = 21
x =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 12,72
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 221/6 = 36,83
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 2,167² + (−3,833)² + 22,17² + (−13,83)² + 3,167² + (−9,833)² = 808,8
Стандартне відхилення
s = √(808,8/5) = 12,72
Відповідь
s = 12,72
2.Описова статистика
Відповідь: z = 0,6
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (560 − 500)/100 = 0,6
Відповідь
z = 0,6
3.Імовірність
Відповідь: P = 0,7209
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Відповідь
P = 0,7209
4.Імовірність
Відповідь: P = 0,01959
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нуль і одна відмова
P(X = 0) = 0,612 = 0,002177
P(X = 1) = 12·0,4·0,611 = 0,01741
Додайте
P = 0,002177 + 0,01741 = 0,01959
Відповідь
P = 0,01959
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8365
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 300 kg, σT = 0,5·√12 = 1,732 kg
Стандартизуйте
z = (298,3 − 300)/1,732 = −0,98
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,98) = 0,8365
Відповідь
P = 0,8365
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 187 cm
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Назад до x
x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm
Відповідь
x = 186,97 cm
7.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 1,051
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/900) = 0,4381
Нова похибка
E₂ = 2,4·0,4381 = 1,051
Відповідь
E₂ = 1,051
8.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −20,51 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (7·9² + 5·3,5²)/12 = 52,35
sp = 7,236
Похибка оцінки
E = 2,179·7,236·√(1/8 + 1/6) = 8,515
Інтервал
−12 ± 8,515 → [−20,51, −3,485]
Відповідь
нижня межа = −20,51 kg
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 1,298
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(17²/80 + 4²/40) = √4,013 = 2,003
Статистика критерію
z = (84,5 − 81,9)/2,003 = 1,298
Відповідь
z = 1,298
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 27
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (2,576·4/2)² = 26,54
Округліть угору
n = 27
Відповідь
n = 27
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9916
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 2396 − 30·364/5 = 212
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 27642 − 364²/5 = 1143
Коефіцієнт кореляції
r = 212/√(40·1143) = 0,9916
Відповідь
r = 0,9916
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 7,389
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 120/6 = 20
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180
Лінія регресії
b = 180/70 = 2,571
a = 20 − 2,571·7 = 2
ŷ = 2 + 2,571·x
Розв’яжіть щодо x
x = (21 − 2)/2,571 = 7,389
Відповідь
x = 7,389
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1